第四章三角函数要点梳理(2)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形

1． 正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A； 内容 b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； 变形 abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab111abc12. S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，

2224R2*3．

在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形 关系式 解的 个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 A为锐角 A为钝角或直角 4. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如图②B点的方位角为α． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

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