第四章三角函数要点梳理

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

1． 角的概念：(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制：(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.

180?π

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad, 1°＝ rad, 1 rad＝?. ?π?°18011(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.

22

3． 任意角的三角函数：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，y

tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：

x三角函数 sin α cos α tan α 定义域 R R π{α|α≠kπ＋，k∈Z} 2第一象限符号 ＋ ＋ ＋ 第二象 限符号 ＋ － － 第三象 限符号 － － ＋ 第四象 限符号 － ＋ － 4. 三角函数线：如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

三角函数线 (Ⅲ) (Ⅳ) (Ⅰ) (Ⅱ) 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 1

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

1． 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：

sin α

＝tan α. cos α

2． 下列各角的终边与角α的终边的关系

角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α终边的关系 角 相同 π－α π－α 2 关于原点对称 π＋α 2 关于x轴对称 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 3. 六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α 二 π＋α －sin_α －cos_α tan_α 三 －α －sin_α cos_α －tan_α 四 π－α sin_α －cos_α －tan_α 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin_α 关于直线y＝x对称 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限

2

§4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β tan α－tan βTα－β：tan(α－β)＝

1＋tan αtan βtan α＋tan β

Tα＋β：tan(α＋β)＝

1－tan αtan β2． 二倍角公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α

tan 2α＝. 1－tan2α

3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变

形用等．如：

sinαcosα=sin 2α；

2cos2α=1+cos 2α cos??21221?cos2?； 21?cos?2 22sin2α=1- cos 2α sin??tan α±tan β＝tan(α±β)(1

tan_αtan_β)，

tan α＋tan βtan α－tan βtan αtan β＝1－＝－1.

tan?α＋β?tan?α－β?4． 函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为：

b

f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝)

aa

或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tan φ＝)．

b

3

§4.4 三角函数的图象和性质

1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π3π

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]中，关键点：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

22π3π

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]中，关键点：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

222． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 R [－1,1] R [－1,1] π{x|x≠＋kπ，k∈Z} 2R ππ[－＋2kπ，＋2kπ] 22[－π+2kπ，2kπ] 单调性 (k∈Z)上递增； π3π[＋2kπ，＋2kπ] 22(k∈Z)上递减 πx＝＋2kπ(k∈Z)时，2x＝2kπ(k∈Z)时，最值 ymax＝1； πx＝－＋2kπ(k∈Z)2时，ymin＝－1 奇偶性 对称中心 对称轴 方程 周期 奇函数 (kπ，0)(k∈Z) πx＝＋kπ(k∈Z) 22π ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 偶函数 π(＋kπ，0)(k∈Z) 2x＝kπ(k∈Z) 2π 奇函数 kπ(，0)(k∈Z) 2 π (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减 ππ(－＋kπ，＋kπ) 22(k∈Z)上递增 4

§4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1． y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 A 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ 2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点． 如下表所示.

x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 3. 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

4. y＝Asin(ωx＋φ)的性质

ππ

令ωx＋φ?[－＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)，求出x的取值范围即为函数的单调增区间

22π3π

令ωx＋φ?[＋2kπ， ＋2kπ] (k∈Z)，求出x的取值范围即为函数的单调减区间

22π

令ωx＋φ=＋kπ (k∈Z)，求出x的值即为函数的对称轴

2令ωx＋φ=kπ (k∈Z)，求出x的值即为函数的对称中心的横坐标 余弦形式依次类推。

5

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形

1． 正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A； 内容 b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； 变形 abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab111abc12. S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，

2224R2*3．

在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形 关系式 解的 个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 A为锐角 A为钝角或直角 4. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如图②B点的方位角为α． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．