论笛卡尔的数学思想

论笛卡尔的数学思想 摘要：一般提到笛卡尔，首先会想到解析几何，其次是“我思故我在”。当然还有那个极大胆的构想，即：任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。本文仅作为自己天真的一些想法谈谈对任何问题化为方程问题求解的理解，以及现代的再认识。 关键词：笛卡尔 数学思想 划归

自古希腊柏拉图起人们尤其柏拉图将数学看作存在的最佳实例，是先验的，更把数学看作善。一直以来，数学因人类的好奇而不断发展，在这期间社会生产的需要促进了数学的发展，而数学基本概念及理论的产生与成熟有极大的推动了社会科技及人类的发展。当然，也有数学家如哈代等人认为数学应该是挑战人类智力极限的存在，由此他们只喜欢“纯粹”的数学。

到底什么是数学？像1、2、3，即使这些数字在创造期间是困难的，但是它也总是比较容易被理解的，但理解负1，理解无理数、复数以及四元数等概念却并不容易；同样，理解欧几里得几何也是比较直观的。但是，像非欧几何以及其他一系列越来越抽象概念及理论框架或称为范式的数学；另外，随着对数学本身的基础问题的研究也带来很多问题甚至困难。 而这和数学思想有何关联？又和笛卡尔有何关系？

笛卡尔著名的哲学作品为1637年发表的题为《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》以及在稍早时期的作品《指导思维的法则》中提出自己设想的一般方法为“通用数学”，并概述了该通用思路：任何问题——数学问题——代数问题——方程问题。这是一个多么令人兴奋的计划！就如同阿基米德撬地球的名言，虽然仔细想来并不现实，但总能激励人们去研究发现未知的东西。

首先还是先论述一下笛卡尔与解析几何。实际上如同一切事物的产生与发展一样，数学发展也是连续的，是不断的踩在无数先辈肩上而奋勇向前的。对坐标系及一些方程和几何学的研究其实一直没有间断过，但为什么是费马和笛卡尔被人们长期赞扬和膜拜？就在于笛卡尔革新式的证明了几何问题可以归结为代数形式的问题，因此在求解时可以运用代数的全部方法。同时由于代数语言远较几何语言富有启发性，所以在问题改变之后，只要进行一些代数变换，就可以发现许多出乎预料的性质。此外，由于笛卡尔采用代数语言来表示几何性质，这就是他提出了许多定理的简单证明，而这些定理要用传统的几何方法来处理则是很困难的。

对比数学中的坐标系，Edgeworth所引入的无差异曲线以及Edgeworth方盒在经济学中的巨大作用，由于这一模型的成功运用使得经济学家们再研究经济问题时更加方便，简洁。而这也大大促进了人们对经济学的理解和认知。

而这有什么具体的数学思想，仔细一想，要说清笛卡尔的数学思想异常困难，只能是我所想象的笛卡尔的数学思想。在此只想强调他在划归思想上的大胆想法！ 近现代的自然科学尤其物理学对数学的强烈需求，正如同希尔伯特那著名的23个数学问题中第六个一样：物理公里的数学处理。当然现代数学已经远不像笛卡尔时代的数学。这似乎也在印证或者实践着笛卡尔的将所有问题划归为数学问题，然后解决数学问题的构想。在自然科学界，像物理、化学、生物、环境气候等纵多学科建立数学模被成功的应用。

即使在很多社会学科中，数学也在渗透并且逐渐强大。规范的经济学走向实证，甚至某些经济学实证难题被看做是经济学家数学水平不够。例如边际这个基本概念发展竟是如此之慢，另外，阿罗及德布鲁运用拓扑学中不动点对瓦尔拉斯一般均衡的证明，纳什均衡存在性的证明等的发展。使得经济学越发“规范化”而经济学家将这种规范化方法继续引入政治学、制度、环境、日常生活等等领域，也使得社会科学更加的数理化。无论是简单的微积分、线性代数、还是规划、甚至非线性方程、微分拓扑、代数拓扑、大范围分析、动力系统、分形及混沌等极其抽象的概念和理论也越来越成为一个经济学家所必需的基本工具。这一切都似乎在朝着笛卡尔的构想在进行。 而在计算机、控制论等学科则在数学的基础上得到即迅速的发展。

笛卡尔作为最有名的提出任何问题——数学问题——代数问题——方程问题的哲学家和数学家，现在时常把这种思想简称为划归思想，把这个过程简称为数学建模，但是敢于如此大胆的把任何问题

划归为数学问题的想法也可以说是笛卡尔的一大创举或预言。