2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分练10.(2)

1

解析 如图，过A，B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB2的距离为定值，

∴

S△BCF|BC|

＝. S△ACF|CA|

|BC||BB1||BB1||BF|2S△BCF|BF|

＝，由抛物线定义知＝＝，∴＝. |CA||AA1||AA1||AF||AF|S△ACF|AF|

又∵△B1BC∽△A1AC， ∴

3

由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－3，

2∴直线AB的方程为y－0＝333－2

(x－3)．

把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，

25

∴|AF|＝|AA1|＝.

2故

y2

S△BCF|BF|24

＝＝＝.故选A. S△ACF|AF|55

2

2

14．[2016·冀州中学预测]已知点P是抛物线y＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，

?7?且点P在y轴上的射影是M，点A?，4?，则|PA|＋|PM|的最小值是( )

?2?

7A. 29C. 2答案 C

B．4 D．5

?1??7?2

解析 设抛物线y＝2x的焦点为F，则F?，0?，又点A?，4?在抛物线外，抛物线的准

?2??2?

11

线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|＝|PA|

22

1199

＋d－≥5－＝，即(|PA|＋|PM|)min＝.故选C.

2222

15．[2016·衡水二中热身]如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

答案 26

解析 建立适当的坐标系，如图所示，可求出抛物线的方程是x＝－2y，当y＝－3时，

2

x2＝－2×(－3)＝6，所以x＝±6，即水面宽是26 米．

16．[2016·武邑中学期末]设抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上

2

一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

解 (1)由题意易知B，D两点关于y轴对称，所以|FB|＝|FD|.故△BFD为等腰直角三角形．

设BD交y轴于点E，则|BE|＝|DE|＝|EF|＝p.所以|BD|＝2p.故圆F的半径|FA|＝|FB|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.

11

因为△ABD的面积为42，所以|BD|·d＝42，即·2p·2p＝42，得p＝－2(舍去)

22或p＝2.所以F(0,1)．故圆F的方程为x＋(y－1)＝8.

(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.

2

2

133

由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.

233当m的斜率为

332322

时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x＝2py得x－px－2pb＝0. 333

42p由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p＋8pb＝0，解得b＝－.

36

p|b1|

因为m的截距b1＝，＝3，

2|b|

所以坐标原点到m，n距离的比值为3. 当m的斜率为－

3

时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3. 3