2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分练10.

2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分

练10.3 抛物线及其性质 文

时间：45分钟

基础组

1.[2016·衡水二中周测]若抛物线y＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )

A．y＝4x C．y＝8x 答案 C

解析 ∵抛物线y＝2px，∴准线为x＝－.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴

2

2

22

2

B．y＝6x D．y＝10x

2

2

p?－p－2?＝4，∴p＝4. ?2???

∴抛物线的标准方程为y＝8x，故选C.

2

x2y2

2．[2016·枣强中学仿真]已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍．若

ab抛物线C2：x＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )

832

A．x＝y

3C．x＝8y 答案 D

解析 ∵2c＝4a，∴c＝2a，又a＋b＝c，∴b＝3a，∴渐近线y＝±3x，又∵抛物线C2的焦点?0，?，

?2?

2

2

2

2

2

1632

B．x＝y

3D．x＝16y

2

?

p?p22

∴d＝＝2，∴p＝8，∴抛物线C2的方程为x＝16y.

2

3. [2016·衡水二中月考]如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，

2

B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )

A．y＝9x C．y＝3x 答案 C

2

2

B．y＝6x D．y＝3x

2

2

解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，

∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，

∴∠AFx＝60°.连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1

1132

的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y＝

2223x，故选C.

4. [2016·武邑中学热身]已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )

2

点击观看解答视频

7

A. 25C. 2答案 C

1

解析 抛物线的准线方程为x＝－，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|

215

－|QF|＝3－＝，选C.

22

5．[2016·衡水二中热身]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过

B．3 D．2

点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )

A．22 C．4 答案 B

B．23 D．25

??2

解析 设抛物线方程为y＝2px(p>0)，则焦点坐标为?，0?，准线方程为x＝－，

2?2?

∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离， ∴

pp?2－p?2＋y2＝2＋p＝3.

?2?0

2??

解得：p＝2，y0＝±22.

∴点M(2，±22)，根据两点距离公式有： ∴|OM|＝ 2＋

2

2

2

＝23.

2

6. [2016·武邑中学期末]已知抛物线方程为y＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )

A.C.

52

＋2 252

－2 2

2

52B.＋1

252D.－1

2

答案 D

解析 因为抛物线的方程为y＝4x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1|1－0＋4|55252

＝|PF|＋d2－1，焦点F到直线l的距离d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，2222所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥

52

－1，选D. 2

2

7．[2016·衡水二中预测]已知抛物线y＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )

A．x＝1 C．x＝－1 答案 C

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－?x－?，与抛物线方程联立得，

?2?

B．x＝2 D．x＝－2

?

p?p???y＝－??x－2??????y2＝2px

，消去y整理得：x－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，

4

2

p2

3p有＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1. 2

8．[2016·枣强中学月考]过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C两

2

→

9A. 213C. 2答案 A

→

点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，AF＝2FB，则|BC|＝( )

B．6 D．8

π

解析 不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<，点B(x1，y1)、C(x2，y2)，则点B在

2|AF|px轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，|AB||BB1|

p2122由此得p＝2，抛物线方程是y＝4x，焦点F(1,0)，cosθ＝＝＝，sinθ＝1－cosθ

|AF|63

＝

?y＝22x－22sinθ

，tanθ＝＝22，直线l：y＝22(x－1)．由?23cosθ?y＝4x

2

得8(x－1)

2

5592

＝4x，即2x－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，选A.

222

9．[2016·衡水二中猜题]已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．

答案

17－1

2

2

2

2

解析 由题意知，圆x＋(y－4)＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为

F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17

－1.

10．[2016·衡水二中一轮检测]已知圆C：x＋y＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．

答案

41

2

22

2

2

解析 由题意得圆C的方程为(x＋3)＋(y＋4)＝4，圆心C坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m＋|PC|)min＝

－3－

2

2

＋－＝41.

2

11．[2016·冀州中学周测]已知直线l与抛物线y＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．

答案

25

4

2

解析 由y＝8x知2p＝8， ∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．

由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，

yA)，(xB，yB)．

4

又点A(8,8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝. 3

4

∴直线l的方程为y＝(x－2)．①

3

将①代入y＝8x，整理得2x－17x＋8＝0，则xA＋xB＝离是2

2

17

，∴线段AB的中点到准线的距2

xA＋xBp17

225

＋＝＋2＝. 244

2

12．[2016·冀州中学热身]已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程；

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