2019届高考数学二轮复习大题标准练一20190214122(2)

点,OH=,Q为椭圆E上的动点,△F1F2Q的面积的最大值为1.

(1)求椭圆E的方程.

(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A,B,C,D,且使AD⊥x轴,如图,问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.

【解析】(1)设F2(c,0),由题意可得+=1,

即yM=.

因为OH是△F1F2M的中位线,且OH=,

所以|MF2|=,即=,整理得a=2b. ①

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又由题知,当Q在椭圆E的上顶点或下顶点时,△F1F2Q的面积最大,

所以×2c×b=1,整理得bc=1,即b(a-b)=1,

6

4

2

4

2

222

②

2

2

联立①②可得2b-b=1,变形得(b-1)(2b+b+1)=0,解得b=1,进而a=2.

所以椭圆E的方程为+y=1.

2

(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),则由对称性可知D(x1,-y1),B(x2,-y2). 设直线AC与x轴交于点(t,0),直线AC的方程为x=my+t(m≠0),

6

联立

2

2

2

消去x,

得(m+2)y+2mty+t-2=0,

所以y1+y2=,y1y2=,

由A,B,S三点共线得kAS=kBS,即将x1=my1+t,x2=my2+t代入整理得 y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0, 即2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,

=-,

从而=0,化简得2m(4t-2)=0,解得t=,于是直线AC的方程

为x=my+,故直线AC过定点.同理可得BD过定点,

所以直线AC与BD的交点是定点,定点坐标为.

5.已知函数f(x)=ln x-,g(x)=ax+b.

(1) 若函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

(2) 若直线y=ax+b是函数f(x)=ln x-图象的切线,求a+b的最小值.

【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x)=ln x--ax-b,

则h′(x)=+-a,

因为h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增,

7

所以对?x>0,都有h′(x)=+-a≥0,

即对?x>0,都有a≤+,

因为+>0,

所以a≤0,

故实数a的取值范围是(-∞,0].

(2)设切点,

则切线方程为y-=(x-x0),

即y=x-x0+,

亦即y=x+,

令=t>0,

由题意得a=+=t+t2

,

b=ln x0--1=-ln t-2t-1,

令a+b=φ(t)=-ln t+t2

-t-1,

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则φ′(t)=-+2t-1=,

当t∈(0,1)时,φ′(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减; 当t∈(1,+∞)时,φ′(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增, 所以a+b=φ(t)≥φ(1)=-1,故a+b的最小值为-1.

6.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=3cos θ.

(1)求圆C的参数方程.

(2)设P为圆C上一动点,A(5,0),若点P到直线ρsinθ-的大小.

【解析】(1)因为ρ=3cos θ,所以ρ=3ρcos θ,

2

=的距离为,求∠ACP

所以x+y=3x,即

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+y=,

2

所以圆C的参数方程为(θ为参数).

(2)由(1)可设P,θ∈[0,2π),

ρsin=的直角坐标方程为x-y+2=0,

则P到直线ρsin=的距离为

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==,

所以sin=0,

因为θ∈[0,2π),所以θ=或,

故∠ACP=或∠ACP=π.

7.已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4. (1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集.

(2)设k>-1,且当x∈时,都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.

【解析】(1)当k=-3时,f(x)=

故不等式f(x)≥4可化为或或解得x

≤0或x≥.

所以所求解集为.

(2)当x∈时,由k>-1有3x-1<0,3x+k≥0,所以f(x)=1+k,

不等式f(x)≤g(x)可变形为:1+k≤x+4,

故k≤x+3对x∈恒成立,即k≤-+3,解得k≤,

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而k>-1,故-1

所以k的取值范围是.

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