2019届高考数学二轮复习大题标准练一20190214122

。 。 。 高考大题标准练（一）

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1.如图,在锐角△ABC中,D为边BC的中点,且AC=,AD=且cos ∠BOC=-.

(1)求sin∠BAC的值. (2)求△ABC的面积.

【解析】(1)由题设知,∠BOC=2∠BAC,

所以cos∠BOC=cos 2∠BAC=1-2sin2

∠BAC=-,

所以sin2

∠BAC=,sin∠BAC=

.

(2)延长AD至E,使AE=2AD,连接BE,CE,

则四边形ABEC为平行四边形,所以CE=AB, 在△ACE中,AE=2AD=

,AC=

,

,O为△ABC外接圆的圆心,

1

∠ACE=π-∠BAC,cos∠ACE=-cos∠BAC=-,

所以由余弦定理得,

AE2

=AC2

+CE2

-2AC·CE·cos∠ACE,

即()2

=(

)2+CE2

-2

·CE·,

解得CE=2,所以AB=CE=2,

所以S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=×2××=.

2.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,CD=2AB.

(1)设AC与BD相交于点M,

=m

(m>0),且MN∥平面PCD,求实数m的值. (2)若AB=AD=DP,∠BAD=60°,PB=AD,且PD⊥AD,求二面角B-PC-D 的正弦值.

【解析】(1)因为AB∥CD,

所以==,即=.

因为MN∥平面PCD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PCD=PC, 所以MN∥PC.

所以==,即m=.

(2)因为AB=AD,∠BAD=60°,可知△ABD为等边三角形, 所以BD=AD=PD,又BP=

AD,

故BP2

=PD2

+DB2

,所以PD⊥DB.

由已知PD⊥AD,AD∩BD=D,所以PD⊥平面ABCD. 如图,以D为坐标原点,

,

的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,

2

设AB=1,则AB=AD=DP=1,CD=2,

所以B,P(0,1,0),C(-1,0,)

则=,=(-1,-1,),

设平面PBC的一个法向量m=(x1,y1,z1),则有

即

设x1=1,则y1=2,z1=所以m=(1,2,

),

,

设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2),

由已知可得令z2=1,则x2=

即,所以n=(

,0,1).

所以cos==.

设二面角B-PC-D的平面角为θ,则sin θ=.

3.近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.

3

(1)记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16]”为事件A,试估计A的概率.

(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用y=e

a+bx

作为二

手车平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程,相关数据如表(表中Yi=ln

yi,=Yi): 5.5 8.7 xiyi 1.9 301.4 xiYi 79.75 385 ①根据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;

②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取交易价格4%的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取交易价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.

附注:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最

4

小二乘估计分别为=②参考数据:e

2.95

,=-1.75

;

-0.65

≈19.1,e≈5.75,e

0.55

≈1.73,e≈0.52,e

-1.85

≈0.16.

【解析】(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28,在(12,16]的频率为0.03×4=0.12, 所以P(A)=0.28+0.12=0.40. (2)①由y=e

a+bx

得ln y=a+bx,即Y关于x的线性回归方程为=a+bx.

因为===-0.3,

=-·=1.9-(-0.3)×5.5=3.55,

所以Y关于x的线性回归方程为=3.55-0.3x, 即y关于x的回归方程为=e②根据①中的回归方程=e

3.55-0.3x

3.55-0.3x

和图1,对成交的二手车可预测:

3.55-0.3×2

使用时间在(0,4]的平均交易价格为e使用时间在(4,8]的平均交易价格为e

=e=e

2.95

≈19.1,对应的频率为0.2; ≈5.75,对应的频率为0.36; ≈1.73,对应的频率为0.28; ≈0.52,对应的频率为0.12; ≈0.16,对应的频率为0.04.

3.55-0.3×61.75

使用时间在(8,12]的平均交易价格为e

3.55-0.3×10

=e

0.55

使用时间在(12,16]的平均交易价格为e使用时间在(16,20]的平均交易价格为e

3.55-0.3×14

=e=e

-0.65

3.55-0.3×18-1.85

所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.290 92≈0.29万元.

4.如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,MF2⊥x轴,直线MF1交y轴于H

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