2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足(?1x111211则x?y的可能的值有（ C ） )(2?2)??(4?4)，

yxy3xyA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 （ A ）

45912 B． C． D．791625 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1AE，则＝

A．（ B ）

A．6 B．2 C．3 D．6 24．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所

写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）

A．

1223 B． C． D．2534

35．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].已知实数x满足x?1?18，则3x1{x}?{}?

x

（ D ）

11 B．3?5 C．(3?5) D．1 226．在△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE?ADE?90? ,则BE的长为 为等腰直角三角形,

A．（ A ）

A．4?23 B．2?3 C．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，2．使得不等式

1(3?1) D．3?1 2111???1，则abc?__0__．

a?b?cb?c?ac?a?b9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 ． 17n?k153．已知P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC

交于点E，如果点P为△ABE的内心，则?PAC?48?．

4．已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，则b? 36 ．

第二试 （A）

一、（本题满分20分）设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求

11?的值． a2b2解 由已知条件可得a2b2?(a?b)2?40，ab?(a?b)?8.

设a?b?x，ab?y，则有x2?y2?40，x?y?8， ……………………5分

联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2). ……………………10分

若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这

个

方

程

的

判

别

式

??(?2)2?24??20?0，没有实数

根； ……………………15分

2若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，则a,b是一元二次方程t?6t?2?0的两根，这

个方程的判别式??(?6)2?8?28?0，它有实数根.所以

11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8. ……………………2222ababab220分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足?ECD??ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE??AFB．

证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知D?ECD??ACB??. D……………………5AE分 CF又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC??ABD??AFD，BECD所以△∽△

DAF， ……………………15分

所以

分

EDCDAB??. ……………………20DFAFAF

又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故

?DFE??AFB. ……………………25分

三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz，则称

n具有性质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并

说明理由.

解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P. 取x?y?2，z?1，可得5?23?23?13?3?2?2?1，所以5具有性质P.…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz，则

f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

＝(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)?(y?z)?(z?x)] ①

2?……………………10

分

不妨设x?y?z，

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，则有f(x,y,z)?3z?1； 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，则有f(x,y,z)?3z?2； 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，则有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P.

因此，1，5和2014都具有性质P. ……………………20分

若2013具有性质P，则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到3|20，从而可得3|x?(y?33(y?z，)故3|x?z，于是有

9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013

不具有性质P. ……………………25分

第二试 （B）

一．（本题满分20分）同（A）卷第一题.

二．（本题满分25分）如图，已知O为△ABC的外心，AB?AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD?7，DC?3，求AH.

解 延长BD交⊙O于点N，延长OD交⊙O于点E，由

A题意得?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE，所以DE?BDC为的平分线. ……………………5分

HNO又点D在⊙O的半径OE上，点C、N在⊙O上，所以点DNCOE、关于直线对称，EDN?DC. ……………………10分 FCB延长AH交⊙O于点M，因为O为圆心，AM?OD，所

以点A、M关于直线OD对称，AH?MH.因此MMN?AC?A. B

………………

……15分 又?FNM??FAB，?FBA??FMN，所以△

ABF≌△NMF，所以MF?BF，FN?AF. ……………………20分

?FM?FN?B?FB?NB?DD?N?B?7?3?10，即因此，AM?AF D2AH?10，所以AH?5. ……………………25分

三．（本题满分25分）

设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz，则称n具有性质P. （1）试判断1，2，3是否具有性质P；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？

333解 取x?1，y?z?0，可得1?1?0?0?3?1?0?0，所以1具有性质P；

333取x?y?1，z?0，可得2?1?1?0?3?1?1?0，所以2具有性质P；…………………

5分

若3具有性质P，则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，从而可得3|(x?y?z)，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即

339|3，这是不可能的，所以3不具有性质

P. ……………………10分

（2）记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，则

333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

＝(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

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