《张量分析》报告(2)

对称张量之和，即：

Cij?Aij?Bij1?Cij?Cji??Aji 211Bij??Cij?Cji????Cji?Cij???Bji22Aij?4）高阶张量的对称和反对称

高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：

?ijk???jik,?ijk???ikj,?ijk???kji

2.3张量的乘法

两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。

设 Aij、Bk 是张量，则外积

kCij?AijBk?xm?xn?Aij?y??Amn?x?i j?y?ykmn?y?x?xl??y?B??y?????x? AAxBijmnlij?x?y?ykkmn?y?x?xk??y???x? CCijlij?x?y?ykij张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。

由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。

Cij?AijBk Ckij?BkAij

k张量Cijk与张量Ckij不相等。

若 Aij是对称张量，Bij是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘积等于0，即:

AijBij?0

由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0。 2.4张量的缩并、内积

在混合张量中，使一个上标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样的运算，称为缩并。每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。

设Aijkl是一个四阶混合张量。作缩并运算，则:

Aijik?Bjk

iqrs?y?x?x?xp?jkl?y??AAqrs?x? pjkl?x?y?y?yi若令指标i与k相等，可得：

iqrsqs?y?x?x?x?x?xprp?jil?y????AAx??Aqrsqrs?x? ppjiljl?x?y?y?y?y?yi缩并运算可以应用于任意阶混合张量。

还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内乘法，得到的张量称为该两张量的内积。如：

Ciij?AiBij

三 张量的扩展

3.1基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号

求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：

?V?vigij?x?vigi????,j?vi,jgi?vigi,j?vi,jgi?vigi,j,jgi,j??j?xj??zk??2zk???xiik????xj?xiik??

可以看出基矢量gi对于坐标x的偏导数也是矢量，它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：

kgi,j??ijkgk??ijgkk

k式中: ?ijk是沿 g方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；?ij是沿

gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。

gi,j?gk?Γijlgl?gk?Γijl?kl?Γijk

k gi,j?gk?Γlijgl?gk?Γlij?lk?Γij3.2 Hamilton 算子

记

由于

可知算子 服从向量的定义。 设

为三维区域

中的标量场，关于

，

其中

的左右梯度为

。

，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，

从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设

为三维区域

中的向量场，关于

的左右散度为

，

从上面两式可以看出向量的左右散度相等。 关于向量场

的左右旋度为

，

对于 的左右旋度，有关系式标量场 的Laplace算子

为，

向量场 的Gauss公式为

其中

为区域

的边界曲面，

， 为

上的单位

外法向量。

向量场 的Stokes公式为

这里 为任意曲面，

为 的边界曲线，在边界

上积分的

环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。

。

第二部分 张量的简单运用

张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义。

岩石流变本构方程 在小变形情况下有：