《张量分析》报告

一 爱因斯坦求和约定

1.1指标

变量的集合：

x1,x2,...,xny1,y2,...,yn

表示为：

xi,i?1,2,3,...,nyj,j?1,2,3...,n

写在字符右下角的 指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。

1.2求和约定

若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。

例如：

Ax?Ax?Ax?b1111221332112222331Ax?Ax?Ax?bAx?Ax?Ax?b31132233323

筒写为：

Ax?bijji

ｊ——哑指标

ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同

遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-?符号（克罗内克符号）和置换符号

Kronecker-?符号定义

?1?????jiij?0置换符号

eijk当i?j当i?j

eijk?eijk定义为:

2，3的偶置换(123,231,312)?1当i,j,k是1，??eijk???1当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321)?0当i,j,k的任意二个指标任意?

i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式：

1a1a?a12a122a23a21a32123312a3?a1a2a3?a12a2a3?a13a12a33a31323312?a1a2a3?a12a12a3?a1a2a3

a13 因此有：

?a??a??a??a?aijji11i22i33i?imAmj?Aijeijk??ejik??eikj??ekjieijk?ejki?ekij

同时有：

?ii??11??22??33?3?ik?kj??ij?ij?ij??ii??jj?3?ij?jk?kl??ilaik?kj?aijaij?ij?aii?a11?a22?a33ai?ij?ajei?ej??ij

?i1?i2?i3?i1eijk??j1?j2?j3??i2?k1?k2?k3?i3?31?32?330e321??21?22?23?0?11?12?131

?j1?k1?j2?k2?j3?k30110??100

?ee???ijkpqri1j1k1???p2i2j2k2???????i3j3k3p1p2p3???p1q1q2q3???ipr1r2r3

?????????????i1p1i2i3p3i1

?ee???ijkpqripjpkp???iqjqkq???irjrkr

p?k?ee??ijkkqriqjq????????iriqjrirjrjq

aA?aa132111aaa12aa22132122a?aaa?aaa?23112233122331333132aaa?aaa?aaa?aaa321331122133112332?eaaa?eaaaijk1i2j3kijki1j2k3Kronecker-?和置换符号符号的关系为：

ee??????kijkstisjtjs

it

二 张量代数

2.1张量的加法(减法)

两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。

设Aijk,Bijk是张量，则

?i?Ai?BiAjkjkjkC?A?Bijkijkijk

也是张量。可以证明，张量相加(减)的结果是一个同阶同变异张量。

imn?y?x?x??y??A?x?A?xl?yj?ykijklmn?i?y??Bl?x??y?x?xBjkmn?xl?yj?yk?i?y??A?i?y??B?i?y?Cjkjkjkimn

?yi?xm?xnll???lAx?Amnmn?x?jk?x?y?y???yi?xm?xnl?lCmn?x??x?yj?yk2.2对称张量、斜对称张量

1）对称张量

若张量满足如下的关系式：

Aij?Aji

这样的张量称为二阶对称张量。

例如，基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。 2）斜对称张量

若张量满足以下关系式：

Aij??Aji

则称为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。 3）二阶张量的分解

任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反