浙江省温州市2015年高考数学二模试卷（理科）(5)

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用．

分析： （I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC，通过已知条件可分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D（0，y，z），利用∠BCD=90°即

?

=0，可得D（0，

，1），进而CD⊥平面ABC；

的夹角

（II）通过题意，直线BC与平面ABD所成角的正弦值即为平面ABD的法向量与的余弦值的绝对值，计算即可． 解答： 解：（I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC， ∵平面ACD⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC， 又∵AB=BC，∴MB⊥AC，

分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 则有B（，0，0），C（0，则有

=（

，

，0），?

，0），设D（0，y，z）， =（0，y﹣

，

，z），

∵∠BCD=90°，∴=0，解得y=，1），

又∵CD=1，∴D（0，∴

=（0，0，1），故CD⊥平面ABC；

，0），设平面ABD的法向量为=（x，y，z），

=（，

，0），

（II）A（0，﹣由

=（0，

，0），

得，取=（，1，），

又∵=（，，0），

|=

=

．

∴sinθ=|

点评： 本题考查线面垂直的判定定理，向量的数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．

18．如图所示，椭圆C：

=1（a＞b＞0）与直线AB：y=x+1相切于点A．

（1）求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；

（2）设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）直线方程与椭圆方程联立化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，即可解出切点A；

2

2

2

2

2

22

（2）设AF的斜率为k，由∠BAF=45°，利用“到角公式”可得=tan45°，解得k．再利

用斜率计算公式可得

=﹣，由BF⊥AF，可得kBF=﹣．得到直线BF的方程，

两条直线方程联立可得B．利用|AF|=|BF|可得方程，联立解得：a，c，再利用b=a﹣c即可得出．

2222

解答： 解：（1）联立，化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，（*）

2222222

∵直线与椭圆相切，

∴△=16a﹣4（a+4b）（4a﹣4ab）=0，

22

化为a+4b=4． ∴2xA=

=

=﹣a，

22

4

2

2

2

22

解得xA=﹣∴A（﹣

，∴yA=，b）．

2

=b．

（2）设AF的斜率为k，

由∠BAF=45°，∴=tan45°=1，解得k=．

∴=﹣，化为=．（*）

∵BF⊥AF， ∴kBF=﹣=3．

∴直线BF的方程为：y=3（x﹣c）， 联立

，

解得B∵|AF|=|BF|， ∴

．

=，

化为

2

，

与（*）联立解得：a=，c=1， ∴b=．

2

∴椭圆C的标准方程为：．

点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19．已知函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a．

（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围； （2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： （1）求导f′（x）=2x+（a﹣4），从而可得f′（0）?f′（1）=（a﹣4）（2+a﹣4）＜0，从而解得；

（2）易知f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=

]上是减函数，在[2]，使得|f（x0）|≥t为

对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（|，|f（2）|，|f（

）|≥t有一个成立即可，即{|f（0）

）|}max={|f

2

2

∈（0，2），故函数f（x）在[0，

，2]上是增函数；从而化对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，

）|}max≥t即可，再由f（1）=0知∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（

（0）|，|f（2）|}max，从而解得．

2

解答： 解：（1）∵f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a， ∴f′（x）=2x+（a﹣4），

又∵f（x）在区间[0，1]上不单调， ∴f′（0）?f′（1） =（a﹣4）（2+a﹣4）＜0， 即2＜a＜4，

即a的取值范围为（2，4）； （2）f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=又∵a∈（0，4），∴

22

，

∈（0，2），

]上是减函数，

∴函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a在[0，在[

，2]上是增函数，

故对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t可化为 对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（

）|≥t有一个成立即可，

即{|f（0）|，|f（2）|，|f（又∵f（1）=0，

∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（

）|}max≥t即可，

）|}max={|f（0）|，|f（2）|}max， ）|}max=

，

故{|f（0）|，|f（2）|，|f（

故的最小值为1，

故1≥t即可，

故t的取值范围为（﹣∞，1]．

点评： 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用，同时考查了恒成立问题与存在性问题，属于难题．

20．已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）． …… 此处隐藏：579字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……