2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题6：由运动产

赵老师

2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编

专题6：由运动产生的线段和差问题

1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）

的“非常距离”， 给出如下定义：

若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣； 若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.

例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非

常距离”为

∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线

P1Q与垂直于x 轴的直线P2Q的交点）。

（1）已知点A(?，0)，B为y轴上的一个动点，

21 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y?34x?3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的

点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非

常距离”的最

小值及相应的点E和点C的坐标。

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赵老师

【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②

12。

??34??（2）①设C坐标为?x0，x0?3?，如图，过点C作

CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。

由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点

D的“非常距离”最小，

∴x0?0?34x0?3?1。

87两边平方并整理，得7x02?48x0?64=0，解得，x0??于

87或x0?8（大

，舍去）。

∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为②设直线y?3487，此时C??，?7?815??7?。

x?3与x轴和y轴交于点A，B，过点

34O作直线y?34x?3的垂线交直线y?x?3于点C，交圆于点E，过

点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。 由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=

??34??35，ON=

45。∴E??，?。

?55??34?设C坐标为?x0，x0?3?

由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小， ∴x0+35?34x0?3?45。

两边平方并整理，得175x02?840x0?1792=0，

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解得，x0??或x0?5822435（大于，舍去）。

5??89?5?8∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时C??，?，

5?34?E??，?。 ?55?【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。

【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。

（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

②同①，同时理解当OC垂直于直线y?最小。

2. （2012广西南宁10分）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（－1，y）． （1）如图1，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； （3）如图2，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

34点C与点E的“非常距离”x?3时，

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【答案】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．

在△BCD与△CAE中，

∵∠BCD=∠CAE=90°－∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°， ∴△BCD∽△CAE，∴

BDCE?CDAE。

∵A（3，4），B（－1，y），C（x，0）且－1＜x＜3， ∴

y3?x?x?14。

14x?2∴y与x之间的函数关系式为y?（2）y没有最大值。理由如下：

∵y?14x?212x?34（－1＜x＜3）。

12x?34?14(x?2x)?234?14(x?1)?1，

2又∵－1＜x＜3，∴y没有最大值。

（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使

AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小。

∵A（3，4），∴A′（2，4）。 ∵B（－1，1），∴B′（－1，－1）。 设直线A′B′的解析式为y=kx+b， 5?k???2k?b?4?3则?，解得?。

?k?b??12??b??3?∴直线A′B′的解析式为y?当y=0时，x?352353x?23。

25?0，解得x??。

∴线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小， 此时点E的坐标为（?25，0）。

【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可

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求出y与x之间的函数关系式。

（2）先运用配方法将y?即可求解。

（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，

先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，从而得出点E的坐标。

3. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

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14x?212x?34写成顶点式，再根据自变量x的取值范围

【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

1?a=???4a+2b+c=02??。 ?4a?2b+c=?4，解这个方程组，得?b=1?c=0?c=0???∴抛物线的解析式为y=﹣（2）由y=﹣

1212x2+x。

2

x+x=﹣

2

12（x﹣1）+

12，可得

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。

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过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB=AN2+BN2?因此OM+AM最小值为42。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。

（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对

称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最 …… 此处隐藏：1644字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……