2020届江苏高考数学（理）总复习讲义： 空间向量的综合应用(2)

―→―→

(1)当λ＝1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，DB1＝(1， －2,2)，A1C1＝(0,4,0)，―→

A1D＝(1,2，－2)．

设平面A1C1D的一个法向量为n1＝(x，y，z)， ―→??A1C1＝0，?n1·?4y＝0，则?即?

―→?x＋2y－2z＝0，??A1D＝0，?n1·

所以可取n1＝(2,0,1)．

设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

―→

|DB11·n1|445―→

则sin θ＝|cos〈DB1，n1〉|＝―＝＝， →1535|DB11||n1|45所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为. 154λ2―→―→

(2)因为BD＝λDC，所以D?λ＋1，λ＋1，0?，

??

4λ2―→

所以A1D＝?λ＋1，λ＋1，－2?.

??

设平面A1C1D的一个法向量为n2＝(a，b，c)， ―→4b＝0，??A1C1＝0，?n2·?则?即?2 4λ

―→a＋b－2c＝0，??A1D＝0，?n2·?λ＋1λ＋1所以可取n2＝(λ＋1,0,1)．

又平面A1B1C1的一个法向量为n3＝(0,0,1)， 1由题意得|cos〈n2，n3〉|＝，

2所以

11

＝，解得λ＝3－1或λ＝－3－1(不合题意，舍去)， 22?λ＋1?＋1

所以实数λ的值为3－1.

[由题悟法]

由定角求参数值的三个步骤

(1)结合图形建立适当的空间直角坐标系； (2)根据给定的角建立方程或方程组；

(3)解方程或方程组，结合题目对参数的要求，求得参数的值．

[即时应用]

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．

1

(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；

2

(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

―→―→―→解：以{AB，AD，AA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则C1(2,2,2)，D1(0，2,2)，B(2,0,0)，B1(2，0,2)，P(1,2,2)，A1(0,0,2)，Q(2,0,2λ)．

1―→―→

(1)若λ＝，则Q(2,0,1)，因为AP＝(1,2,2)，AQ＝(2,0,1)，

2―→―→AP·AQ1×2＋2×0＋2×145―→―→

所以cos〈AP，AQ〉＝＝＝，

―→―→153×5|AP||AQ|所以AP与AQ所成角的余弦值为45

. 15

―→―→

(2)由AA1＝(0,0,2)，AQ＝(2,0,2λ)． 设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)， ―→??AP＝0，?n·?x＋2y＋2z＝0，则?即?

―→?2x＋2λz＝0.???n·AQ＝0，

令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ， 所以n＝(2λ，2－λ，－2)．

又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°，

―→??n·AA42―→1?所以|cos〈n，AA1〉|＝?―＝＝→?2?2λ?2＋?2－λ?2＋?－2?22， ?|n||AA

?1|?可得5λ2－4λ＝0. 4

又因为λ≠0，所以λ＝. 5

考点三 空间向量的综合应用 ?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]

(2019·太湖高级中学检测)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

(1)求证：AD⊥平面BFED；

(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

解：(1)证明：在梯形ABCD中，

因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°， 所以AB＝2，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3. 所以AB2＝AD2＋BD2， 所以AD⊥BD.

因为平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，

所以DE⊥平面ABCD，

所以DE⊥AD，又DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BFED. (2)由(1)可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示，令EP＝λ(0≤λ≤3)，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，P(0，λ，1)， ―→―→

所以AB＝(－1，3，0)，BP＝(0，λ－3，1)． 设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， ―→?AB＝0，?n1·?－x＋3y＝0，由?得?

―→?λ－3?y＋z＝0，???n1·BP＝0，

取y＝1，则n1＝(3，1，3－λ)， 因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，

|n1·n2|11所以cos θ＝＝＝. 22|n1||n2|3＋1＋?3－λ?×1?λ－3?＋41因为0≤λ≤3，所以当λ＝3时，cos θ有最大值，

2π

所以θ的最小值为.

3

[由题悟法]

处理立体几何的最值问题的2种方法

(1)结合条件与图形恰当分析取得最值的条件； (2)直接建系后，表示出函数转化为函数最值问题．

[即时应用]

如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连结AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．

(1)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

解：(1)设BD＝x(0＜x＜3)，则CD＝3－x.

由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角形， 所以AD＝CD＝3－x. …… 此处隐藏：641字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……