悠悠球的理论力学分析

悠悠球的简单力学分析及讨论

假设悠悠球的质量为m，对质心的转动惯量为。细绳长为，不计形变及质量。轴承摩擦系数为μ，内外半径分别为

，细绳全部缠绕在轴承上时半径为R，忽略轴承的质量

及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初速度被甩出，方向竖直向下，到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。（图均为过质心的截面图）

过程分析

1. 设出手的过程人做功W，该功量全部转化为悠悠球的动能，使其绕瞬心O点定轴转动，

角速度

。由动能定理：

得：

后面的计算并不用到这个角速度，这里只是定量分析一下能量转换的关系。

R O

2. 此后悠悠球在重力的作用下加速下落，运动方式类似纯滚动。随着细绳逐渐被抽出，

缠绕的细绳越来越接近球的中心，其角速度迅速增大。忽略空气阻力及一切能量耗散，设在细绳完全抽出的瞬时角速度为

。由动能定理：

得：

其质心速度

3. 此时细绳会突然急剧张紧，在极短时间内产生一个竖直方向的冲量，使得悠悠球质心

速度变为零，平动动能耗散为其他形式的能量，这就是物理中所学过的“范性过程”。规定向下为正，其冲量为：

r O

同时，由于轴承不完全光滑，该过程轴承对悠悠球的冲量矩为（类比小球与粗糙平面的斜碰撞，平面对其的切向冲量为法向冲量的

）：

设范性过程结束时悠悠球角速度为

动量矩定理：

得：

4. 此后由于悠悠球离合器中的钢珠受很大的离心力的作用，压缩弹簧使离合器打开，悠

悠球绕质心作定轴转动，并且角速度在摩擦力矩的作用下逐渐变小。由动量矩定理有微分关系式：

即

积分，初始条件

可见

随时间线性减小。当其减小到离合器的临界角速度时，钢珠的离心力和弹簧

作用的压力相互平衡。只要继续减小，离合器就会卡住轴承从而使悠悠球沿细绳

向上运动，达到“收球”的目的。设经过时间T达到离合器临界角速度式有

，代入上

T即为悠悠球的空转时间，称为睡眠时间。

5. 这是悠悠球整个运动的最后一个过程，可以认为是第一个过程的逆过程。设悠悠球收

回前一瞬间角速度为

不计能量损耗，由动能定理：

r

得

至此，悠悠球的运动全过程分析结束。下面以推导出的（*）式简要讨论影响睡眠时间的因素。

结果讨论

1. 的影响

从表达式易知T随减小而增大。故为了尽可能延长睡眠时间，应使尽可能小。

但为了最后能将其收回，应有2. W（初始做功）的影响

将式子略微变形，写作

。综上得 时，T最大。

显然括号里为正，故T随W的增大而增大。但W不可过大，否则容易造成绳断等安全隐患。 3.

（轴承内径）及显然，T随

的影响

越小，范性过程以及空转

的缩小而增大。这直观上很好理解：

过程中轴承对悠悠球的摩擦冲量矩就越小，从而角速度衰越慢，睡眠时间越长。 4. 其余变量由于和T的函数关系较为复杂，求导繁杂，限于篇幅不再一一分析。

实例计算

下面以一种悠悠球的实际参数带入公式进行数值运算，对比睡眠时间的理论计算值与实际值。

产品名称： 火力战士s 产品编号： 671513 规格： 567*457*458 备注： 轴承系统:尼龙轴承 规格：4x6x4 回收系统:十字离合器

外环材质：有色透明PC 重量：68g 球体:材质：PC 上线有效宽度:13.5mm 球绳:专用纯棉球绳 最大空转时间:1分35秒 最大直径:62mm

由参数表知m=68g，

。查表知滑动轴承的为0.01-0.02，取

；绳长取1m；作为简化，将悠悠球视作匀质圆盘，得，D为悠悠

球直径；W较难确定，暂时估算为使悠悠球获得5m/s 的质心速度及相应角速度所做的功，即

，根据经验R约为3r；

则取使T最大

的值，即，此时悠悠球收回手中时动能正好为0。将以上参数带入（*）式，得：

这与参数表中的95s较为接近，说明利用该公式可以粗略计算悠悠球的最大睡眠时间。此外在计算中发现两点：1. 在3过程中

，即范性过程中由轴承摩擦力矩造

成的悠悠球角速度损失很小，几乎可以忽略不计，这是因为力臂短和摩擦系数

2.相当大，即为了悠悠球能回到手中，离合器在其角速度还比较大时就卡住了

轴承使其结束睡眠开始上升。为了进一步提高睡眠时间，就得拆掉离合器系统，从而悠悠球可以继续睡眠直到角速度为零，这就是我们常听到的“死睡眠”。将

带入式中可算

出，可见死睡眠能成倍增大睡眠时间。