2016高考 - 龙泉一轮-数理-作业(45)(2)

A．9 C．3 答案 B

9B. 232D.

2

解析 方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知?3－a??a＋6?≤

?3－a?＋?a＋6?93

＝，当且仅当a＝－时等号成立．

222方法二：?3－a??a＋6?＝

38193

－?a＋?2＋≤，当且仅当a＝－时等号成立．

2422

21

2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )

xyA．m≥4或m≤－2 C．－2

21

解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，

xy214yx

∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2xyxy

4yx4yx

·＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，xyxyB．m≥2或m≤－4 D．－4

21

又＋＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成xy立，即8>m2＋2m，解得－4

x2＋2x＋2

3．函数y＝(x>－1)的图像最低点的坐标是( )

x＋1A．(1,2) C．(1,1) 答案 D

?x＋1?2＋11

解析 y＝＝(x＋1)＋≥2.

x＋1x＋1当且仅当x＝0时等号成立．

4．设x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞)

解析 (x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1 ≤xy－2xy＋1，

又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2xy＋1≥2， ∴xy≥2＋1，∴xy≥3＋22.

5．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 答案

23 3

B．(1，－2) D．(0,2)

1134

解析 ∵xy≤(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤.∴－

44432323323≤x＋y≤，当x＝y＝时，x＋y取得最大值. 3333

6．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 答案

210 5

332x＋y28

解析 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝×2xy＋1≤×()＋1，∴(2x＋y)2≤，∴(2x＋

2225y)max＝

210

. 5

7.如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．

(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；

(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．

解析 (1)连接OC.

设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.

则AB＝2900－x2，其中0

所以S＝2x900－x2＝2x2?900－x2?≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝152时，S取最大值900 cm2.

答：取BC为152 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2. (2)设圆柱底面的半径为r，高为x，体积为V. 900－x2由AB＝2900－x＝2πr，得r＝.

π

21

所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中0

π1

由V′＝(900－3x2)＝0，得x＝103.

π

1

因此V＝(900x－x3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．

π6 0003

所以当x＝103时，V取最大值为 cm3.

π

6 0003

答：取BC为103 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.

π