2016高考 - 龙泉一轮-数理-作业(45)

题组层级快练(四十五)

1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 C．2ab 答案 D

解析 只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2

2．若x>0，则x＋的最小值是( )

xA．2 C.2 答案 D

2

解析 由基本不等式可得x＋≥2x

22

x·＝22，当且仅当x＝即x＝2时取等号，故最小值是22. xx

B．4 D．22 B．2ab D．a＋b

3

3．若0

29A. 16C．2 答案 D

4．已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab的最大值为( ) 1A. 2C．2 答案 B

a＋b21＋

解析 ∵2a2b＝2ab＝2，∴a＋b＝1，ab≤()＝，故选B.

245．下列函数中，最小值为4的是( ) 4

A．y＝x＋ xB．y＝sinx＋

4

(0

－

9B. 49D. 8

1B. 4D．4

C．y＝4ex＋ex

D．y＝log3x＋logx3(0

解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，①x的定义域为{x|x∈R，4且x≠0}，函数没有最小值；②若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．④没有最小值．故

sinx选C.

6．下列命题中正确的是( ) 1

A．函数y＝x＋的最小值为2

xB．函数y＝

x2＋3

的最小值为2 x2＋2

4

C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－43 x4

D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－43

x答案 D

1

解析 y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正

x确；

y＝x2＋3x＋2

2＝x2＋2＋

1

≥2， x＋2

2∵x2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B项不正确； 44∵x>0时，3x＋≥2·3x·＝43，

xx42

当且仅当3x＝，即x＝3时取“＝”，

x34

∴y＝2－(3x＋)有最大值2－43，故C项不正确，D项正确．

x1a

7．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )

8xA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

1a

解析 令p：“a＝”，q：“对任意的正数x,2x＋≥1”．

8x1a1

若p成立，则a＝，则2x＋＝2x＋≥2

8x8x

1

2x·＝1，即q成立，p?q； 8xB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1

若q成立，则2x2－x＋a≥0恒成立，解得a≥，∴q?/ p.

8∴p是q的充分不必要条件．

8．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A.3 C.5 答案 A

解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R. ∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.

B．2 D.10 2

方法二：m2＋n2＝3?(m3)2＋(n

3)2＝1， ∴2＝x2＋y2＋(

m3)2＋(n3)2≥2

3(mx＋ny)． ∴mx＋ny≤3.

9．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋1

2x)2的最小值是( )

A．3 B.72 C．4 D.92

答案 C

解析 原式＝x2＋xy＋1y1

4y2＋y2＋x＋4x2≥4.

当且仅当x＝y＝

1

2

时取“＝”号． 10．(2015·安徽池州二中月考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4

b的最小值是( )

A.72 B．4 C.92 D．5

答案 C

解析 依题意得141141bba＋b＝2(a＋b)(a＋b)＝2×[5＋(a＋4ab)]≥1

2×(5＋2

a×4ab)＝9

2

，当且仅当??a＋b＝2，

?b＝4a??ab，a>0，b>0，

即a＝24149

3，b＝3时取等号，即a＋b的最小值是2

.

．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2

11xz的最小值为( )

A．3 B．6 C．9 D．12

答案 A

12．(1)当x>1时，x＋4

x－1

的最小值为________； (2)当x≥4时，x＋

4

x－1

的最小值为________． 答案 (1)5 (2)16

3

解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.

44

∴x＋＝x－1＋＋1≥24＋1＝5.

x－1x－1(当且仅当x－1＝

4

.即x＝3时“＝”号成立) x－1

4

∴x＋的最小值为5.

x－1(2)∵x≥4，∴x－1≥3.

4

∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，

x∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋

416＋1有最小值.

3x－1

1

13．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．

ab答案

17 4

a＋b21

解析 ab≤()＝，

241

当且仅当a＝b＝时取等号．

211

y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．

x41117∴ab＋的最小值为＋4＝.

ab44

a14．(2013·四川文)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

x答案 36

a

解析 f(x)＝4x＋≥2

x

aa

4x·＝4a(当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号)，则由题意知a＝4×32＝36. xx

15．已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________． 1

答案 8

2x＋y21

解析 ∵2xy≤()＝，

24

111

∴xy≤.(当且仅当2x＝y即x＝，y＝时取“＝”号．)

8421∴xy的最大值为. 8

111

16．设x>0，y>0，且＋＝，则xy的最小值为________．

x＋2y＋23答案 16

111

解析 由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实

2＋x2＋y3数，∴xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，∴(xy)2－2xy－8≥0，解是xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取

等号，∴xy的最小值为16.

16

17．已知a>b>0，求a2＋的最小值．

b?a－b?答案 16

思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋64

，求出最小值． a2解析 ∵a>b>0，∴a－b>0. b＋?a－b?2a2

∴b(a－b)≤[2]＝4.

∴a2＋16b?a－b?

≥a2＋64

a2≥2a2·64a

2＝16. 当a2＝64

a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．

∴a2＋16

b?a－b?的最小值为16.

18．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)， (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 答案 (1)1 (2)2

?x>0，解析 由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得?

?y>0，

??3xy＝x＋y＋1.

(1)∵x>0，y>0，

∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1.

∴3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0. ∴(3xy＋1)(xy－1)≥0. ∴xy≥1.∴xy≥1.

当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1.

(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·(x＋y2

2).

∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0. ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.

∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号． ∴x＋y的最小值为2.

1．(2013·重庆理)?3－a??a＋6?(－6≤a≤3)的最大值为( )