2004年全国高中数学联赛试题及答案 - 图文(2)

p?p2?4n22210、解：设k?pk?n,n?N,则k?pk?n?0,k?，从而p?4n22*22是平方数，设为m,m?N,则(m?2n)(m?2n)?p

2*2

?p2?1m???m?2n?1?2

p是质数，且p?3,??,解得?22p?1?m?2n?p?n???4p?m2p?(p2?1)(p?1)2?k??,故k?。（负值舍去）

244

11、解：设bn?111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18, anbn?1bn

即3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1?1311?2(bn?) 33故数列{bn?}是公比为2的等比数列，

13bn?n111111?2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。 33a0333nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3?。 a33i?oii?0i?0??

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为 S（a，3－a），则圆S的方程为：(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当

?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的

22222a值必须满足2(1?a)?(a?3),解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为P(1,0)和P(?7,0)，而过点M，N，p'的圆的半径大于过点M，

'N，P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而6?4?2,6?5?2，因此，当n?5时，n次出现的点数之和大于2n已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。

.......5分

45（Ⅱ）设事件An为“第n关过关失败”，则对立事件An为“第n关过关成功”。 第n关游戏中，基本事件总数为6个。

第1关：事件A1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），

n?过此关的概率为：P(A1)?1?P(A1)?1?22?。 63第2关：事件A2所含基本事件数为方程x?y?a当a分别取2，3，4时的正整数解组数之

111和。即有C1?C2?C3?1?2?3?6（个）。

?过此关的概率为：P(A2)?1?P(A2)?1?65?。 266 ........10分

第3关：事件A3所含基本事件为方程x?y?z?a当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整

222222数解组数之和。即有C2?C3?C4?C5?C6?C7?1?3?6?10?15?21?56（个）。

?过此关的概率为：P(A3)?1?P(A3)?1?5620。 ?36272520100故连过前三关的概率为：P(A1)?P(A2)?P(A3)???。 ?3627243（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

.........15分 ........20分

44(,)点Pxy(x?1),y??(x?1),y?0。

3311到AB、AC、BC的距离依次为d1?|4x?3y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|。依设，

5514、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y?d1d2?d32,得|16x2?(3y?4)2|?25y2，即

16x2?(3y?4)2?25y2?0,或16x2?(3y?4)2?25y2?0，化简得点P的轨迹方程为

圆S：2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：2x?2y?3y?2?0 与双曲线T：8x?17y?12y?8?0

22222222 ......5分

① ②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

1由d1?d2?d3，解得D(0,)，且知它在圆S上。?ABC的内心D也是适合题设条件的点，

2直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

1y?kx?

2H③

yGDBPEoQCFx （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y?1平行于x轴，表明L2与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??1，直线L的方程为x??(2y?1)。2代入方程②得y(3y?4)?0，解得E(,)或F(-,)。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当k??

543354331时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分 21情况2：直线L不经过点B和C（即k??），因为L与S有两个不同的交点，所以

2?8x2?17y2?12y?8?0?L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组?有且只有一组实数1?y?kx??2解，消去y并化简得(8?17k)x?5kx?2225?0 42该方程有唯一实数解的充要条件是8?17k?0 或(?5k)?4(8?17k)22 ⑤

④

25?0 4

解方程④得k??2342，解方程⑤得k??。 172综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集{0,?

12342,?,?}。 2172......20分

2215、解：（Ⅰ）设??x1?x2??,则4x1?4tx1?1?0,4x2?4tx2?1?0,

2?4(x12?x2)?4t(x1?x2)?2?0,?2x1x2?t(x1?x2)?1?0 2则f(x2)?f(x1)?2x2?t2x1?t(x2?x1)?t(x1?x2)?2x1x2?2? ?2?222x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)1?0?f(x2)?f(x1)?0 2

.......5分

又t(x1?x2)?2x1x2?2?t(x1?x2)?2x1x2?故f(x)在区间??,??上是增函数。

????t,????,

?g(t)?maxf(x)?minf(x)?f(?)?f(?)?(???)?t(???)?2???2?14?2?2??2??2?15??t2?1?t2??222?8t?1(2t?5)??? 22516t?252t?16

（Ⅱ）证：

......10分

8216(2?3)?24cosuicosuicosuicosuig(tanui)??21616?9cosui?92cosui?216?24166?(i?1,2,3)

16?9cos2ui16?9cos2ui3311312???(16?9cosui)?(16?3?9?3?9)?sin2ui)....15分 ?166i?1166i?1g(tanui)i?1?sinui?13i?1,且ui?(0,),i?1,2,32??3?sinui?(?sinui)2?1，而均值不等式 …… 此处隐藏：1182字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……