2018年全国卷II高考数学（理科）试题含答案解析(4)

或

点睛：确定圆的方程方法

．

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 20. 如图，在三棱锥

（1）证明：（2）若点在棱

中，平面

；

为

，求

与平面

所成角的正弦值．

，

，为

的中点．

和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于

的方程组，从而求出

上，且二面角

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果. 详解：（1）因为连结且由由

.因为，

知知

. . 平面

.

的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系

.

，为，所以

的中点，所以

，且

.

为等腰直角三角形，

（2）如图，以为坐标原点，

由已知得设设平面由

，则

的法向量为

得

.

，可取.

取平面的法向量.

，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以所以

与平面

.又，所以.

所成角的正弦值为.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21cnjy.com 21. 已知函数

（1）若（2）若

．

，证明：当在

时，

；

只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2）

详解：（1）当时，

等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而

，故当

时，

，即

．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，

没有零点；

（ii）当时，． 当时，；当

时，．

所以在

单调递减，在单调递增．

故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在

只有一个零点； ③若

，即

，由于

，所以

在

有一个零点，

由（1）知，当时，，所以

．故

在

有一个零点，因此

在

有两个零点． 综上，在

只有一个零点时，

．

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数），直线的参数方程为

（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为【答案】（1）当

【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分直角坐标方程，根据参数几何意义得详解：（1）曲线的直角坐标方程为当当

时，的直角坐标方程为时，的直角坐标方程为

．

与

两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的，即得的斜率．2-1-c-n-j-y

时，的直角坐标方程为

，求的斜率．

，当

时，的直角坐标方程为

．（2）

之间关系，求得．

，

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点又由①得

，故

在内，所以①有两个解，设为，，则

，于是直线的斜率

．

．

点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|.

(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0. 23. [选修4－5：不等式选讲] 设函数 （1）当

．

时，求不等式

的解集；

，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝

.

.(t是参数，t可正、可负、可为0)

（2）若【答案】（1）

，求的取值范围．

,(2)

【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为取值范围．21*教*育*名*师 详解：（1）当

时，

可得（2）而由

可得的解集为等价于

，且当或

． ．

时等号成立．故

等价于

．

．

，再根据绝对值三角不等式得

最小值，最后解不等式

得的

，所以的取值范围是

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．