导数的应用--单调性-知识讲解 -(2)

（2）a?f(x)恒成立，则a?f(x)max；a?f(x)恒成立，只需a?f(x)min，这是求变量af?(x)?0。的范围的常用方法。

【变式1】已知函数 f(x)?4x?ax?'2223x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值范围． 3'【答案】f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?恒成立，即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1，所以实数a的取值范围为??1,1?．

2【变式2】已知向量a=（x，x+1），b=（1―x，t），若函数f(x)?a?b在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。

【答案】 解法一：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，则 f'(x)??3x?2x?。t

若f(x)在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有f'(x)?0。 ∴f'(x)?0?t?3x?2x在区间（―1，1）上恒成立。

2考虑函数g(x)?3x?2x，由于g(x)在图象的对称轴为x?2232221，且g(x)在开口向上的抛物线，故要使t3≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立?t?g(?1)，即t≥5。

解法二：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，f'(x)??3x?2x?t。

若f(x)在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有f'(x)?0。∵f'(x)的图象是开口向下的抛