上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形、平行

二次函数存在性几何问题（等腰三角形、平行四边形、梯形）

1.（2013崇明二模）如图，抛物线y??直线与抛物线交于另一点B（3，

52x?bx?c与Y轴交与点A（0，1），过点A的45），过点B作BC⊥x轴，垂足为C． 2（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．

①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度； ②联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

2.（2013奉贤二模）如图，已知二次函数y??x?2mx的图像经过点B（1,2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM上有点P（1，

说明理由；

（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。

23），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并2

3.（2013浦东二模）已知：如图，点A（2，0），点B在y轴正半轴

1OA．将点B绕点A顺时针方向旋转90?至点C．旋转25前后的点B和点C都在抛物线y??x2?bx?c上．

6（1） 求点B、C的坐标；

上，且OB?（2） 求该抛物线的表达式；

（3） 联结AC，该抛物线上是否存在异于点B的点D，使点D与AC构成以AC为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的D点坐标，如果不存在，请说明理由．

2

4.（2013松江二模）已知抛物线y=-x+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

5．（2013静安区）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点． （1）求反比例函数和二次函数的解析式； （2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长

2

6.（2013?闸北区二模）已知：如图，抛物线y=x-2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点． （1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；

（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP=∠AOP，求出点D的坐标．

2

7．（2012浦东二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x+2x+c过点A（-1，0）；直线l：y??3x?3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点M；抛物线4的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．

（2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标．

（3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E．问：是否存在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

2

8.（2011?青浦区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G． （1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标； （2）求tan∠ACG的值；

（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

9.（2011青浦二模）如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y=ax+bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y=2x上．

2

（1）求m的值和抛物线y=ax+bx的解析式；

（2）如在线段OB上有一点C，满足OC=2CB，在x轴上有一点D（10，0），连接DC，且直线DC与y轴交于点E． ①求直线DC的解析式；

②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点N的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

2

10．（2011金山二模）已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC正切值；

（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

11．（2011宝山）如图，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB． （1）求b+c的值；

（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

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12.（2014?闵行区二模）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、

2

y轴于点E、F．抛物线y=ax+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．