小学奥数图形的面积(4)

AEOFBAEOFB

【分析】 如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2?6?3?2?2．

由于EF:DC，根据梯形蝴蝶定理，S?DEO:S?EFO?3:1，所以S?DEO??1:3S?DEODCDC34S?DEF，而S?DEF?S?ADE?2，所以

?34，阴影部分的面积为2?1.5?3.5?2?1.5．

相似三角形性质

【例 7】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，?CDO的面积是?ABO面积的几倍？

CFCBOADBOAD 【分析】 连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知OB:OD?AE:AD，且OA:BE?DA:DE?1:2，所以?CDO的面

积等于?CBO的面积；由OA?3倍．

【例 8】 如图，线段AB与BC垂直，已知AD?EC?4，BD?BE?6，那么图中阴影部分面积是多少？

12BE?14ACE可得CO?3OA，所以S?CDO?S?CBO?3S?ABO，即?CDO的面积是?ABO面积的

ADADADOOB 【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．

作辅助线BO，则图形关于BO对称，有S?ADO?S?CEO，S?DBO?S?EBO，且S?ADO:S?DBO?4:6?2:3． 设?ADO的面积为2份，则?DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．

因为S?ABE?6?10?2?30，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30?8?4?15．

?4，BD?BE?6，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知解法二：连接DE、AC．由于AD?ECDE:AC?BD:BA?6:10?3:5，

根据梯形蝴蝶定理，S?DOE:S?DOA:S?COE:S?COA?32:?3?5?:?3?5?:52?9:15:15:25，所以

ECBECBECS阴影:S梯形AD??E?1C?5?12?1?5?6?6=32?:??915S阴影1，即?1532155S梯形AD25 ；EC3215:32又S梯形ADEC?

12?10?10?，所以S阴影?S梯形ADEC?15．

13【例 9】 右图中正方形的面积为1， E、F分别为AB、BD的中点，GC?FC．求阴影部分的面积．

ADADEFGEFG

【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么

首先想到的就是利用相似三角形的性质．

阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．

根据相似三角形性质，CI:CH?CG:CF?1:3，又因为CH?HB，所以CI:CB?1:6，即BI:BC??6?1?:6?5:6，所以

S?BGE?12?12?56?524BCBHIC．

OE垂直AD于E，【例10】 如图，长方形ABCD中，交AF于O，已知AH?5cm，AF与BE、BD分别交于G、E为AD的中点，H，

HF?3cm，求AG．

AGEDOHFCB 【分析】 由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF?AH:HF?5:3，

又因为E为AD中点，那么有OE:FD?1:2，

所以AB:OE?5:而AO?12AF?1232?10:3，利用相似三角形性质可以得到AG:GO?AB:OE?10:3，

1013?4013??5?3??4?cm?，所以AG?4??cm?．

【例11】 ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘

米．

AODAOGDEEMHMC

B 【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．

设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．

可得S?AED=14S平行四边形ABCD，

FCBF对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DO:ED?OE:ED??ED?OD?:ED??3?2?:3?1:3，

24BD:34BD?2:3，

所以 S?AEO? 13?14S平行四边形ABCD?13?14?72?6(平方厘米)，S?ADO?2?S?AEO?12(平方厘米)．

同理可得S?CFM?6平方厘米，S?CDM?12平方厘米． 所以 S?ABC?S?AEO?S?CFM?36?6?6?24(平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24?12?12?48(平方厘米)．

练习

5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO?1，并且

么OC的长是多少？

三角形ABD的面积三角形CBD的面积?35，那

BAOC

D三角形ABD的面积三角形CBD的面积?

AOCO【分析】 根据蝴蝶定理，

，所以

AOCO?35，又AO?1，所以CO?53．

6． 如图，梯形ABCD中，?AOB、?COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．

ABOCD 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?ACOD?a2:b2?4:9，所以a:b?2:3，

S?AOD:S?AOB?ab:a?b:a?3:2，S?AOD?S?COB?1.2?232?1.8，

S梯形ABCD?1.2?1.8?1.8?2.7?7.5．

7． 已知三角形ABC的面积为a，AF:FC?2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．

ADEBGFC

AF:A?C2:3，所以EF??2:1?【分析】 已知AF:FC，且EF∥BC，利用相似三角形性质可知EF:BC23BC，且

S?AEF:S?ABC． ?4:912BC又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EG?可得S?CFG:S?AFE?1:8，所以S?CFG:S?ABC?1:18，那么S?CFG?

a18，EG:EF?12:?3:423，所以GF:EF?1:4，

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