2010高考数学140分必读：把关题解析(17)(2)

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123x,焦点F(0,) 6212112设A(x1,x1)，由(Ⅰ)知以A为切点的切线方程为y?x1(x?x1)?x1…………8分

63612令x?0,得点B的坐标为(0,?x1)

6?????123???123所以FA?(x1,x1?),FB?(0,?x1?) ……………………………………………10

6262(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线C1的方程为y?分

??????????????????33?FM?FA?FB?(x1,?3)，因F(0,),设M(x,y),?FM?(x,y?)?(x1,?3)

2233?y??,即M点在定直线y??上 ……………………………………………………12

22分

(22)(本小题满分14分)

己知f(x)?lnx?ax2?bx。

(Ⅰ)若a??1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； (Ⅱ)当a?1,b??1时，证明函数f(x)只有一个零点；

(Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)两点AB中点为C(x0,0)，求证：

f?(x0)?0。

(22)解：(Ⅰ)依题意：f(x)?lnx?x?bx

2?f(x)在(0,??)上递增，?f?(x)?1?2x?b?0对x?(0,??)恒成立 x11即b??2x对x?(0,??)恒成立，?只需b?(?2x)min ……………………………2

xx分

12?x?0,??2x?22 当且仅当x?时取\?\?b?22，

x2?b的取值范围为(??,22] ……………………………………………………………4

分

(Ⅱ)当a?1,b??1时，f(x)?lnx?x?x，其定义域是(0,??),

212x2?x?1(x?1)(2x?1)?f?(x)??2x?1????,……………………………………6

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分

?x?0,?0?x?1时，f?(x)?0;当x?1时，f?(x)?0

?函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减 ?当x?1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)?ln1?12?1?0

当x?1时，f(x)?f(1),即f(x)?0

?函数f(x)只有一个零点 ……………………………………………………………9

分 (Ⅲ)由已知得 f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0,f(x2)?lnx2?ax?bx2?0,22? lnx1?ax12?bx12lnx2?ax2?bx2两式相减，得

lnx1x?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?ln1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b], …………11x2x2分

由f?(x)?1?2ax?b及2x0?x1?x2，得 xf?(x0)?x1221?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]??ln1 x0x1?x2x1?x2x1?x2x2x1?1)2(x?x)xx2x11?[12?ln1]?[?ln1]…………………………………12x1?x2x1?x2x2x1?x2(x1?1)x2x22(分

2t?2(t?1)2x1令t??lnt(0?t?1),???(t)???0, ?(0,1),且?(t)?2x2t?1t(t?1)??(t)在(0,1)上递减，??(t)??(1)?0

?x1?x2,?f?(x0)?0 ……………………………………………………………………14

分

3. 德阳二模

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax，在x?1处取得极值为． 2x?b（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间(m,2m?1)上为增函数，求实数的取值范围；

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axaxlf(x)?图象上的任意一点，直线与的图象

x2?bx2?b相切于点，求直线l的斜率的取值范围．

a(x2?b)?ax(2x)ax19.解：（Ⅰ）已知函数f(x)?2，?f'(x)? …………１分 22x?b(x?b)?f'(1)?0又函数f(x)在x?1处取得极值2，?? …………２分

f(1)?2??a(1?b)?2a?0?a?44x?即?a ?f(x)?2 …………………4分 ??x?1?2?b?1??1?b4(x2?1)?4x(2x)4?4x2（Ⅱ）由f'(x)?0，得4?4x2?0，?f'(x)??(x2?1)2(x2?1)2即?1?x?1

4x所以f(x)?2的单调增区间为（－1，1） ………………… 6分

x?1因函数f(x)在（m，2m＋1）上单调递增，

（Ⅲ）若P(x0,y0)为f(x)??m??1?则有?2m?1?1， …………７分

?2m?1?m?解得?1?m?0即m?(?1，0]时，函数f(x)在（m，2m＋1）上为增函数 ………８分

4x（Ⅲ）?f(x)?2x?14(x2?1)?4x(2x) ?f'(x)?(x2?1)2224(x0?1)?8x0直线l的斜率k?f'(x0)? …………９分 22(x0?1)211 即k?4[2 令?]?t，t?(0，1]， …………１０分 22(x0?1)2x0?1x0?1则k?4(2t2?t)，t?(0，1]

11?k?[?，4] 即直线l的斜率k的取值范围是[?，4] ……………1２分

22

x2220．（本小题满分12分）已知A,B,C均在椭圆M:2?y?1(a?1)上，直线AB、AC

a?????????29AF1?AF2?AF1. 分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当AC?F1F2?0时，有

(Ⅰ)求椭圆M的方程；

(Ⅱ)设是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2??y?2??1的任一条直径，求PE?PF的最大值.

2

??????????????????20.解:(Ⅰ)因为AC?F1F2?0，所以有AC?FF12

?????????所以?AF1cos?F1AF2?AF2 …………………………2分 1F2为直角三角形；?AF学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com

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???????????????????????2????2????2则有9AF?AF1?AF1 1?AF2?9AF1AF2cos?F1AF2?9AF2?????????所以，AF1?3AF2 …………………………3分

????3a?????a,AF2? ………………………4分 又AF1?AF2?2a，?AF1?22????2?????2??????2在?AF1F2中有AF1?AF2?F1F2 ?3a??a?22即??????4(a?1)，解得a?2 ?2??2?x2?y2?1 …………………………6分 所求椭圆M方程为2 (Ⅱ)PE?PF?NE?NP?NF?NP

??NF?NP?NF?NP??NP?NF?NP?1

从而将求PE?PF的最大值转化为求NP的最大值 …………………8分

222??????????222x222是椭圆M上的任一点，设P?x0,y0?，则有0?y0?1即x0?2?2y0

2????2222又N?0,2?，所以NP?x0??y0?2????y0?2??10 ………………10分

而y0???1,1?,所以当y0??1时，NP取最大值9

故PE?PF的最大值为8 ……………………12分

22

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)?满足：a1?x(0?x?1)的反函数为f?1(x)，数列{an}和{bn}1?x1?1?，an?1?f?1(an)，函数y?f?1(x)的图象在点n,f(n)(n?N)处的切线2在轴上的截距为bn．

??（1）求数列{an}的通项公式；

bn?b5?{?}（2）若数列2的项仅2?最小，求的取值范围； anana5a511?x2{x}x?0?x?1（3）令函数g(x)?[f(x)?f(x)]?，，数列满足：，0?xn?1，n121?x2?1222(x?x)(x?x)(x?x)532n?1n21?????．且xn?1?g(xn)，其中n?N?．证明： x1x2x2x3xnxn?11621. 【解析】（1）令y?yx，解得x?，由0?x?1，解得y?0，

1?y1?xan11x?1?1a?f(a)???1．f(x)f(x)?(x?0)∴函数的反函数，则n?1，得n 1?anan?1an1?x?{1}是以2为首项，l为公差的等差数列，故an?1． ……3分

n?1an1x?1(x?0)，∴[f(x)]??， (1?x)21?xn1?(x?n)， n?1(1?n)2?1（2）∵f(x)?∴y?f?1(x)在点(n,f?1(n))处的切线方程为y?学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com

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