浙江省十二校新高考研究联盟2012届第一次联考数学（理）试题(4)

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设平面CDE的法向量n2?(x2,y2,z2)，由?得n2?(0,1,3)????????12分

?y2?(?3)?z2?0?x2?1?0

?平面PAB?平面CDE，?n1?n2?0，即1?t?3?0,?t?2.????????

14分

注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 21、（I）由题意，|QA|?|QB|?|QP|?|QB|?6， ∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a?3,c?2,

x2y2??1.??????5分 ∴曲线C的轨迹方程是95

（II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l：y?kx?m，则

图1

由l与⊙O相切得

|m|1?k2?r 即m2?r2(1?k2)

①?????7分

?y?kx?m?222由?x2y2，消去y得，(5?9k)x?18kmx?9(m?5)?0,

?1??5?9设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则由韦达定理得

18km9(m2?5)x1?x2??，x1x2?????????9分

5?9k25?9k2OM?ON?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2

9(1?k2)(m2?5)18k2m2???m2 225?9k5?9k14m2?45(1?k2)?②????????10分 25?9k

图2

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14m2?45(1?k2)?0 由于其中一条切线满足?MON?90，对此OM?ON?5?9k2045????????????????12分 14452(1?k2)，进而于是，对于任意一条切线l，总有m?14222结合①式m?r(1?k)可得r?214m2?45(1?k2)?0 OM?ON?5?9k2故总有?MON?90. ????????????????14分

0最后考虑两种特殊情况：（1）当满足?MON?90的那条切线斜率不存在时，切线方程为

05r20x??r.代入椭圆方程可得交点的纵坐标y??5?，因?MON?90，故

9455r220，得到r?，同上可得：任意一条切线l均满足?MON?90；（2）r?5?149455r2当满足?MON?90的那条切线斜率存在时，r?，r?5?，对于斜率不

14902存在的切线x??r也有?MON?90.

综上所述，命题成立. ????????????????15分

22、（I）f(x)的定义域为(0,??)

0f'(x)?a(1?x)(2x?a)?2(x?1)?a?…………………………..………..…….2分 xx（1，??）①a?0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为

（?②?2?a?0时，f(x)的增区间为（0，??）③a??2时，f(x)减区间为

aa，1）（1，??），减区间为(0,?), 22（1，?④a??2时，f(x)的增区间为

（II）由题意

aa）（?，??），减区间为(0,1),…………6分 22第 12 页 共 13 页 金太阳新课标资源网

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f'(x0)?kPP?12f(x2)?f(x1)x2?x1

[alnx2?(x2?1)2?ax2]?[alnx1?(x1?1)2?ax1] ?x2?x1x2x1??(x1?x2?2)?ax2?x1aln又：f('x1?x22a)??(x1?x2?2)?a…………………………..…………….9分 2x1?x2a（0，??）?2(x?1)?a（a?0）在上为减函数

x?f'(x)?要证x0?x1?x2''x?x2) ,只要证f(x0)?f(122x2x2(x2?x1)x12a即, 即证ln2?……………....…….13分 ?x2?x1x1?x2x1x1?x2alnx22(t?1)14(t?1)2'令t? ，g(t)???1,g(t)?lnt???0 22x1t?1t(t?1)t(t?1)?g(t)在(1,??)为增函数 ?g(t)?g(1)?0 ?lnt?即ln2(t?1)lnt2?，即 t?1t?1t?1x22(x2?x1) ?x1x1?x2x1?x2得证………………………..………15分 2 ?x0?

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