弹性力学读书报告(2)

代入边界条件有： ?A?2C??q2? ?a?

??A?2(1?2?)Cb?0 ??b

22?ab(1?2?) q?A??22(1?2?)b?a?

?2a ?2C??q22? (1?2?)b?a?

将常数A、C代入，有

?r?Ar2?2C,????Ar2?2C,?r??022?ab11?2????q(?)?r2222(1?2?)b?abr??22ab11?2????q(?)2222??(1?2?)b?abr?r?a

例题2. 楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。 解：（1）应力函数 ? 的确定

由因次分析法，可知

代入相容方程：

得到：

22?ab11?2????q(?)??qr?2222(1?2?)b?aba??22ab11?2????q(?)2222??(1?2?)b?abr??(r,?)?rf(?)22yq2O??q2??21?1???2??0?2?2??rr?rr????421?df(?)df(?)??4??02?42r?d?d??422xdf(?)d?4?4df(?)d?2?0f(?)?Acos2??Bsin2??C??D 22??rf(?)?r(Acos2??Bsin2??C??D)

（2）应力分量的确定

??r??2Acos2??2Bsin2??2C??2D?????2Acos2??2Bsin2??2C??2D???2Asin2??2Bcos2??C?r?由对称性， ? r, ? ? 应为? 的偶函数； ? r 应为? 的奇函数，因而有 ?

??r??2Acos2??2D?????2Acos2??2D???2Asin2??r?B?C?0

（3）由边界条件确定常数

????0???2边界条件： ?? ??r?????q?2

q?代入，有： ?2Acos??2D?0?2A?sin??? 2Asin??q??2D??qcot??

代入应力分量式，有 ?cos2????q(?cot?)?r sin?? cos2????q(?cot?)?? sin?? sin2????q?r? sin??

例题3.曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力分量。 解：（1）应力函数的确定 PO任取一截面 ，截面弯矩为

M?Py?P?rsin? a Px

???M(?)f1(r)?f1(r)sin???f(r)sin?(a)br 222??将其代入相容方程： ??1??1???0?222??rr?rr?? ??

2 ?d4f(r)2d3f(r)?3df(r)3df(r)3????f(r)??sin??0432234 rdrrdrrdrr?dr? df(r)dr44y?2df(r)rdr33?3df(r)r22dr2?3df(r)r3dr?3r4f(r)?0

13上述欧拉方程的解： f ( r ) ? Ar ? B ? C r ? D r r （b） lnr

1??代入应力函数为 ? ? ? Ar 3 ? B ? C r ? D r ln r ? sin ? （c）

r??

（2）应力分量的确定

2 ? 1 ? ? 1 ? 2 B D ??2?(2Ar?3?)sin???r?2 r?rr??rr?2 ??2BD????(6Ar? ? 3 ? ) sin ? （d） ? 2

??rrr ???r?????1?????(2Ar?2BD

??r??r????r3?r)cos?边界条件： ????r?r?a?0,???r?r?a?0

?

????r?r?b?0,???r?r?b?0 ?代入应力分量得： ?? 2 Aa2BD ? a 3 ? a ? 0 （e）

??2Ab?2B ??b3?Db?0

端部条件（左端）： b ?a?P?br???0dr?a????0dr?0 代入剪应力分量得： ??Ar2?1?b ?B?Dlnr?r2??P?a

22?A(b2?a2)?Bb?aa2b2?Dlnb

a?P联立求解式（e）、（f），得：

22 A?P,B??PabP22

2N2N,D??N(a?b)

N?(a2?b2)?(a2?b2)lnb

a代入应力分量式（d），有： ?P2222 ??r?(r?a?b?ab)sin??Nrr3 ???P2222 ??(3r?a?b?ab)sin?Nrr3? ?222 ??Pr???(r?a?b2?ab)cos??Nrr3

?ba????0rdr?0（f）