2019八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式基本定义及其应用试题

二次根式基本定义及其应用

一、二次根式的定义

一般地，我们把形如a(a?0)的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义。

注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a?0是a为二次根式的前提条件，如5，

x2?1，x?1(x?1)等是二次根式，而?3，?x2?5等都不是二次根式。

二、二次根式的判定

二次根式必具备条件

含有二次根号 如：a不是二次根式；a2?1是二次根式；3 8不是二次根式；特别注意4是二次根式。被开方数大于等于0 三、二次根式有意义的条件

1. 单独的二次根式：被开方数大于等于0，如7，5等；

2. 含有分母的二次根式：被开方数大于等于0，分母不等于0，二者要综合考虑，如：

11(?0，x?0）； xx3. 二次根式永远有意义：被开方数为完全平方加正数，如22。 总结： 1. 二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容； 2. 所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式。

例题1 已知，y＝x?20＋30?x，且x、y均为整数，求x＋y的值。 解析：先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x＋y的值。

答案：由题意知：20≤x≤30，又因为x，y均为整数，所以x－20，30－x均需是一个整数的平方，因而x只可以取21或29，当x＝21时，y＝4，x＋y的值为25；当x＝29时，y＝4，x＋y的值为33。故x＋y的值为25或33。

点拨：考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y均为整数，得到x－20，30－x均需是一个整数的平方。

例题2 已知点P（x，y）在函数y＝标系中的（ ）

1

1??x的图象上，那么点P应在平面直角坐x2A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

解析：因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0。从而可以得到x＜0，由x＞0，?x?0可以得到

2

1??x＞0，∴y＞0，即x2可求出点P所在的象限。

?x2?01答案：∵?，∴x＜0；又∵x＜0，∴2??x＞0，即y＞0

x??x?0∴P应在平面直角坐标系中的第二象限。故选B。

点拨：考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号。

估算二次根式的值

根据提示的方法估算二次根式的大概取值。

例题 阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。

小明的方法：∵9＜13＜16，

设13＝3＋k（0＜k＜1）。∴（13）＝（3＋k）。∴13＝9＋6k＋k。∴13≈9＋

2

2

2

6k，解得k≈

4。 6∴13≈3＋

4≈3.67。 6问题：（1）请你依照小明的方法，估算41的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算m的公式：

已知非负整数a、b、m，若a＜m＜a＋1，且m＝a＋b，则m≈ （用

2

含a、b的代数式表示）；

（3）请用（2）中的结论估算37的近似值。

解析：（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出41＝6＋k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解。

答案：（1）∵36＜41＜49，设41＝6＋k（0＜k＜1），∴（41）＝（6

2

＋k），∴41＝36＋12k＋k，∴41≈36＋12k。解得k≈6.42；

22

55，∴41≈6＋≈6＋0.42＝12122

2

2

2

（2）设m＝a＋k（0＜k＜1），∴m＝a＋2ak＋k≈a＋2ak，∵m＝a＋b，∴a＋2ak≈a

2

2

＋b，解得k≈

（3）

bb，∴m≈a＋； 2a2a1≈6.08。 126?37?6?1，依据（2）中结论，a?6,b?1，∴37≈6＋

求最值问题

2

利用因式分解及二次根式的定义，被开方数是非负数，求最值。

例题 若k2?2008是整数，则整数k的最小正整数值为 。 解析：设k2?2008?a，则k－a＝2008，（k＋a）（k－a）＝2008，即k＋a与k2

2

－a是2008的因数，确定2008的因数，即可求得k，a的值，即可确定k的整数值。

答案：设k2?2008?a，则k－a＝2008，

2

2

（k＋a）（k－a）＝2008＝1×2008＝2×1004＝4×502＝8×251 分别求出k值， 则?1004?k＋a＝502?k＋a＝251?k＋a＝2008?k＋a＝或?或?或?。

k?a?1k?a?2k?a?4 k?a＝8????1004.5?129.5?k＝?k＝503??k＝253?k＝解得：?（舍去），?或?或?（舍去）。则

1003.5?a＝?a＝501?a＝249?a＝121.5k的最小正整数值是：253。故答案是：253。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. 已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是（ ） A. 3

B. 5

C. 15

D. 25

2. 下列说法错误的是（ ）

A. 零和负数没有算术平方根 B. a2?b2是一个非负数，也是二次根式

2C. x2?16的最小值是4 D. ?(x?1)的值一定是0

*3. 下列根式中最简二次根式的个数有：2

x2y，

3xyab22，，5(a?b)，252y275xy，x?y，（ ）

c322A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

**4. 若实数x使代数式A. x≥－1

x?1有意义，则x的取值范围是 （ ）。

x?2?4B. x≥1

C. x≥－1且x≠2

D. x≥1且x≠2

**5. 观察下列各式：2×

233424＝2?；3×＝3?；4×＝4?；…

38815315依此类推，则第四个式子是哪个？用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是（ ）。

5nn、＝ n?2220n?1n?15nnB. 5?、n×＝ n?2226n?1n?1A. 5? 3

5nn、n×＝ n?24n2?1n2?1n5nD. 5?、n×＝ n?2224n?1n?1C. 5?

二、填空题：

*6. 已知化简后的二次根式 3x?y4x?3y与 2x?y?6是同类二次根式，则x＋y＝________。

*7. 已知x?1＋1?x＝y＋4，n＋24n是整数，则正整数n的最小值与x的平方

y

根的积为 。

**8. 用下面“逐步逼近”的方法可以求出7的近似值。 先阅读，再答题：

因为2＜7＜3，所以2＜7＜3。

2

2

2?32

＝2.5，由2.5＝6.25＜7得2.5＜7＜3。 22.5?32

第二步：取＝2.75，由2.75＝7.5625＞7得2.5＜7＜2.75

2请你继续上面的步骤，写出第三步，并通过第三步的结论，对7十分位上的数字作一

第一步：取估计 。 **9. 求和S＝1?44444444＋＋＋＋…＋?1??1??1??12322242325242621?44＝ 。 ?221012 三、解答题：

*10. 如果y＝x2?4 ＋4?x2＋1，求2x＋y的值。

**11. 已知：a?5＋210?2a＝3a?b＋|c?49|，求实数a、b、c的值。

2

**12. 已知|2009?a|＋a?2010＝a，求a?20092?15的值。 （1）由式子a?2010可以得出a的取值范围是什么？

（2）由（1），你能将等式|2009－a|＋a?2010＝a中的绝对值去掉吗？ （3）由（2），你能求出a－2009的值吗？

2（4）讨论总结：求a?2009?15的值。

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