换一种思维方式解题

换一种思维方式解题

——在初中数学教学中运用二次函数解析规律探索型问题

（作者 耿马县第一中学教师 左忻）

关键词：初中数学 二次函数 解析 规律探索型问题

规律探索型问题是指由给出几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题。此类问题在目前热门的公务员考试中也属于常考的内容，被安排在“数量关系，数字推理”一节中。在中考数学中主要包括“数字规律探索”、 “代数或规律探索”和“图形规律探索”三种类型。这类中考题无论是在素材的选取、文字表述，还是题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是较全面地考查学生的创新意识、实践能力和规律探究能力，而这些能力都是培养数学推理能力的重要保证。虽然探索的规律有其特殊性，但是探索规律的过程和思路却具有一般性：要么特殊探路，要么逆推分析，要么数形结合，要么分类讨论，要么进行转化（可以化为函数问题或方程问题，这正是本文所要重点探讨的），只要掌握了其中的规律，看起来困难的问题也会迎刃而解。解决规律探索型问题的一般步骤是：通过对所给的结论进行全面细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用。

此类型的题目对于学生来说有一定的难度，特别在考试时由于时间限制等因素，会造成学生的丢分。在初中数学教材中并没有讲如何化为函数问题，也不要求学生掌握，但如果掌握了把此类问题化为函数问题的解题方法，会给学生不少的帮助，因此有一定的研究探讨价

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值，下面我们就近年来中考中出现的试题进行研究探讨。 一、 数字规律型

例1，（2007年广西河池中考题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，---叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为 。

解题 方法一：我们可以用表格形式总结其规律：

序号 1 2 3 4 5 6 --- n 数字 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 21=1+2+3+4+5+6 --- n=1+2+3+4+5+6+---+n 规律 从1加到序号 从1加到序号 从1加到序号 从1加到序号 从1加到序号 从1加到序号 --- 从1加到序号 所以第100个三角形数与第98个三角形数的差为： （1+2+3+4+5+6+---+100）—（1+2+3+4+5+6+---+98）=199 方法二：

我们可以用二次函数来解析。 设 二次函数解析式为：y=ax2+bx+c 则 当x=1时，y=1 当x=2时，y=3

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当x=3时，y=6

1=a×12＋b×1＋c ① ∴

3=a×22＋b×2＋c ②

6=a×32＋b×3＋c ③

②－① 得

3a＋b=2 ④ ③－② 得

5a＋b=3 ⑤ ⑤－④ 得 2a=1

∴a=

代a= 入④得

123＋b=2 212 ∴b=

代a=,b= 入①得

11＋＋c=1 22121212∴ｃ=０

所以二次函数解析式为y=x2＋x

112211当x=98时， y=×982＋×=4802＋49=4851

221212当x=100时，y=×1002＋×100=5000＋50=5050

所以第100个三角形数与第98个三角形数的差为：

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5050-4851=199 二、 图形规律型

例2，（2007年武汉中考题）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第五个图案中的小正方形的个数为 。

第1个 第2个 第3个 方法一：

由图形展示的规律可知，第四个图，第五个图如下，可知共有41个小正方形。

第4个 第5个

方法二：

用二次函数来解析。

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设二次函数解析式为：y＝ax2＋bx＋c 则：当ｘ＝１时，ｙ＝１ 当ｘ＝２时，ｙ＝５

当ｘ＝３时，ｙ＝13

１＝ａ×１2＋ｂ×１＋ｃ ① ∴ ５＝ａ×２2＋ｂ×２＋ｃ

13＝ａ×３2＋ｂ×３＋ｃ ②－①得

３ａ＋ｂ＝４ ③－②得

５ａ＋ｂ＝８ ⑤－④得 ２ａ＝４ ∴ ａ＝２ 代ａ＝２ 入④得 3×2＋ｂ＝４ ∴ ｂ＝-2

代ａ＝２，ｂ＝-2 入①得 2＋（-2）＋ｃ＝１ ∴ ｃ＝１

∴二次函数解析式为： ｙ＝２ｘ2－２ｘ＋１

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② ③

④

⑤