济南市2016届高三3月高考模拟考试数学（理）试题(3)

222?2，即m??1时，在[0,?],g'(x)?0,g(x)单调递增，在[?,2],g'(x)?0,g(x)单调递mmm2442减，所以g(x)max?g(?)?22，只需使22?1，得m??，所以m??1.

mmemee2(iii)当??0，即m?0时，显然在[0,2]上g'(x)?0,g(x)单调递增，g(x)max?g(2)?4e2m,4e2m?1不成

m立，

综上所述，m的取值范围是(??,?ln2].

x2y2a2b22221.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x?y?2，若抛物线y2?4x的焦点2aba?b与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点.

(i)证明:?AOB为定值；

(ii)连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求?ABQ面积的取值范围.

x22?y2?1，“相关圆”E的方程为x2?y2?【答案】（Ⅰ）椭圆C的方程为

3 2（Ⅱ）（i） ??AOB??为定值 （ii）?,2?

2?3?

2?4?【解析】（Ⅰ）因为若抛物线y?4x的焦点为?1,0?与椭圆C的一个焦点重合，所以c?1 ………1分 又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b?c?1

x2?y2?1， ……………3分 故椭圆C的方程为222“相关圆”E的方程为x?y?2……………4分

3

（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x?6， 3?66??6?6?A,,B,?则?所以?AOB?……………5分 ????33??3?23 ????当直线l的斜率存在时，设其方程设为y?kx?m，设A?x1,y1?,B?x2,y2?

?y?kx?m?联立方程组?x2得x2?2(kx?m)2?2,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0, …………6分

2??y?1?2△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?8(2k2?m2?1)?0,即2k2?m2?1?0(*)

4km?x?x??12??1?2k2……………7分 ?22m?2?xx?12?1?2k2 ?m2222?3m?2?2k因为直线与相关圆相切，所以d??? ……………8分 221?k31?k(1?k2)(2m2?2)4k2m2222?x1x2?y1y2?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m???m1?2k21?2k2

m3m2?2k2?2??021?2k

?????????AOB?为定值 ……………9分 ?OA?OB ??2（ii）由于PQ是“相关圆”的直径，所以S?ABQ?求弦长AB的取值范围

16ABPQ?AB，所以要求?ABQ面积的取值范围，只需23当直线AB的斜率不存在时，由（i）知AB?26……………10分

3

8(2k2?m2?1)因为|AB|?(1?k)(x1?x2)?(1?k)……………11分 22(1?2k)

22284k4?5k2?18k2???[1?4],

34k4?4k2?134k?4k2?1

① k?0时|AB|?81111[1?]为4k2?2?4?8所以0??,

11k34k2?2?44k2?2?48kk所以

28816?|AB|?3?[1?]?3,所以1333 4k2?2?4k当且仅当k??2时取”=” ……………12分 22266?|AB|?3．|AB |的取值范围为……………13分 33

②当k?0时,|AB|??4???ABQ面积的取值范围是?,2?……………14分

?3?