货币的时间价值(3)

0 1 2 3 4 100×（1＋6%）-1＝94.34 100×（1＋6%）-2＝89 100×（1＋6%）-3＝83.96 100×（1＋6%）-4＝79.21 346.51

图5 普通年金现值计算示意图

从图5可知，第一期期末的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；第二期期末的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；第三期期末的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元；第四期期末的100元到第一期初，经历了4个计息期，其复利现值为79.21元。将以上四项加总得346.51元，即为四期的年金现值。

从以上计算可以看出，通过复利现值计算年金现值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。

根据复利现值的方法计算年金现值P的计算公式为： P?A?11

?1?i??A??1?i?2?????A?1?1?i?n?1?A?1?1?i?n等式两边同乘（1+ i），则有：

P

??1?i??A?A?1?1?i??A?111?1?i?2?????A??1?i?n?2?A??1?i?n?1公式（2）－公式（1）： P??1?i??p?A?A?1?1?i?n P?i?A?[1?1?1?i?n] ?n

P?A?1??1?i?i

1??1?i??ni(1)(2)公式中， 通常称为“年金现值系数”，用符号（P/A，i，n）表示。年金现值系数可以通过查“年金现值系数表”获得。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。相应的年金现值系数在其纵横交叉之处。例如，可以通过查表获得（P/A，6%，4）的年金现值系数为3.4651，即每年末收付1元，按年利率为6%计算，其年金现值为3.4651元。

例：某公司预计在8年中，从一名顾客处收取6 000的汽车贷款还款，贷款利率为6%，该顾客借了多少资金，即这笔贷款的现值是多少？

1??1?i?P?A?i

?81??1?6%??6000?

6%?6000?6.2098

?37258.8(元)

?n

在年金现值的一般公式中有四个变量P，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。

2．先付年金

先付年金是指每期期初有等额的收付款项的年金，又称预付年金。如图6所示。 0 1 2 3 4

100 100 100 100 图6 先付年金示意图

图6，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。上图表示4期内每年100元的先付年金。

（1）先付年金的终值

先付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。例如，按图6的数据，假如i＝6%，第4期期末的年金终值的计算见图7。

0 1 2 3 4 100×（1＋6%）=100×1.06=106 100×（1＋6%）

2

＝100×

1.1236=112.36

100×（1＋6%）1.191=119.10

100×（1＋6%）1.2625=126.25

1004.6371=463.71

图7 先付年金终值计算示意图

从图7可知，第一期期初的100元，有4个计息期，其复利终值为126.25元；第二期期初的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；第三期期初的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；而第四期期初的100元，有1个计息期，其复利终值为106元。将以上四项加总得463.71元，即为整个的先付年金终值。

从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。因此，可在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。

先付年金的终值F的计算公式为：

n?1?i??1F?A???1?i?43

＝100×

＝100×

×

in?1?1?i???1?i??A?i??1?i?n?1?1??A???1?i??公式中 常称为“先付年金终值系数”，它是在普通年金

?1?i?n?1?1?1i终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的，可表示为［（F/A，i，n+1）－1］，可通过查“普通年金终值系数表”，得（n+1）期的值，然后减去1可得对应的先付年金终值系数的值。例如［（F/A，6%，4+1）－1］，（F/A，6%，4+1）的值为5.6371，再减去1，得先付年金终值系数为4.6371。

例：某公司租赁写字楼，每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，该公司计划租赁12年，需支付的租金为多少？