4-4-3 圆与扇形（三）.教师版(4)

DEFCDCBBEAFA

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，?(2?2π)?3?6π，

26π?2π?3，即为3周，所以答案为A点，3周，6π． 【答案】A点，3周，6π

【例 11】 先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形(如

左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π?3.14)

A2B22C

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

能实施具体的计算．

22222AC222B2图⑴

【解析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才

22图⑵

4-3-3 圆与扇形 题库 page 11 of 15 2D2AC2B22D'222222ACB22图⑷222图⑶

在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．

为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：

第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；

第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图⑶中的弧DD'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；

综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积． 60?6060???222?3?π?4??π?2?滚动时经过的面积是：3??π?22?????8π?25.12(cm)． 360?360360???【答案】25.12

【例 12】 下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线

分为8等份的点.求阴影部分面积之和．

GHJFEDCB144°AK

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图,做出辅助线,

4-3-3 圆与扇形 题库 page 12 of 15 GHJKLFNEDCM144°B

△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．

所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．

AKMA?SANG,

144054扇形KGA的圆心角为×3=540,所以扇形面积为?200???60?平方厘米．

8360那么KGEB的面积为60??2=120?平方厘米．

如下图,做出另一组辅助线．

GHJK144°APFEDRQCB

△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等), 有△JQA≌△ARH,SJQA?SARH=5△A,而△PQA是两个三角形的公共部分,

所以右图中的阴影部分面积相等.

所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．

144018?1800,所以扇形面积为扇形JHA的圆心角为?202???20?平方厘米． 8360那么JHDC的面积为20??2?40?平方厘米．

所以,原题图中阴影部分面积为SKGEB?SJHDC?120??40??80?≈80×3.14=251.2平方厘米．

【答案】251.2

【例 13】 10个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内

图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?

4-3-3 圆与扇形 题库 page 13 of 15 AB【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好

组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．

【答案】2:3

【例 14】 在图中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(?取3.14)

A12OBC

【考点】 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】奥林匹克，初赛，11题

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 有AO=OB，所以△AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以△AOC为等腰三角形.

∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°，

所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC的面积为

【答案】42.39

【例 15】 图是由正方形和半圆形组成的图形．其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点．已知

正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(?取3.14)

A10D60 ?92???42.39(平方厘米)．

360PBQC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

4-3-3 圆与扇形 题库 page 14 of 15 【关键词】奥林匹克，初赛，11题

【解析】 过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点．

AOB10DPQC

有SABCD?10?10?100，S半圆DPC?（1021）????12.5?. 22S?AOP?5?（10+101??10??1）??37.5，S梯形OPQB???10???5??5??50. 222??2??阴影部分面积为SABCD?S半圆DPC-S?AOP?S梯形OPQB?100?12.5??37.5?50?12.5?12.5??51.75.

【答案】51.75

4-3-3 圆与扇形 题库 page 15 of 15