4-4-3 圆与扇形（三）.教师版(3)

考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．

【答案】1圈

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁

环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

4-3-3 圆与扇形 题库 page 8 of 15 ⑴【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径

OA滚动了540?，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．

OAAO⑵

也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的

⑴周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．

【答案】3圈

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n?1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又

回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n”．

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．

2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．

2π

图（1）图（2）

⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．

因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．

2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．

2π【答案】n-1和n+1

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【例 9】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位

置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬

币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180??60??60??60?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．

当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360??60??60??90??150?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300o．

长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120??8?300??4?2160?，所以这枚硬币转动了2160o，即自身转动了6圈．

另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2π即滚动了一周．

【答案】6圈

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．

用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”

上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度?2π?自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．

【答案】一样多；都是6圈

【例 10】 一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到

原来的位置，那么与原A点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．

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