4-4-3 圆与扇形（三）.教师版(2)

【解析】 边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。

r1r11。 2

r11

因为r2?r2?12，所以r2?11?1?1??所求面积为?12???12????12?r2???????0.6775（平方米）

42?4428?【答案】0.6775

【例 6】 如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫

过部分的面积．(?取3.14)

ADBC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，

ADB\\D\\\\A\\ADB\\A\\B\\\\BCD\\B

如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA??A?，端点D扫过轨迹为DD??D?，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，A?D?所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然,

有阴影部分面积为S直角?A?D?C?S扇形ACA??S直角?ACD?S扇形CD?D,而直角三角形A?D?C、ACD面积相等．

CD\\S直角?A?D?C?S扇形ACA??S直角?ACD?S扇形CD?D=S扇形ACA??S扇形CD?D=90?90??9AC2?CD2?(52?42)???7.065(平方厘米) 36036044 即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．

【答案】7.065

4-3-3 圆与扇形 题库 page 6 of 15

【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺

时针方向旋转90?，分别求出四边扫过图形的面积．

ABDC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的

A'AB1，如图： 4DCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为2、研究AB边的情况．

9π． 4在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

A'ABDCB' 下面来求这部分的面积．

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形ACA'面积＋三角形A'B'C面积－三角形ABC面积一扇形BCB'面积＝扇形ACA'面积一扇形

52π32π?BCB'面积??4π 443、研究AD边扫过的图形．

由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：

4-3-3 圆与扇形 题库 page 7 of 15 A'AB

52π42π9用与前面同样的方法可以求出面积为：??π

444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．

可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决

对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．

9π【答案】（1）BC边扫过图形的面积为

4 （2）AB边扫过图形的面积为4π

9π （3）AD边扫过图形的面积为

4 （4）DC边扫过图形的面积为4π

【例 8】 (华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小

铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到

与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA也运动到了与初始时相对的位置．这时

DCB'OA沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，

因此小铁环自身也转了1圈．

AOOA⑵

【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以