4-4-3 圆与扇形（三）.教师版

圆与扇形

例题精讲

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

n圆的面积?πr2；扇形的面积?πr2?；

360n圆的周长?2πr；扇形的弧长?2πr?．

360一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说111的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246n分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．

360n比如：扇形的面积?所在圆的面积?；

360n扇形中的弧长部分?所在圆的周长?

360n?2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 扇形的周长?所在圆的周长?360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积?正方形-扇形

④”谷子”：如图：

二、常用的思想方法：

“谷子”的面积?弓形面积?2

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块、曲线型旋转问题

【例 1】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)

4-3-3 圆与扇形 题库 page 1 of 15 BAC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧，所以路线的总长度为：

1202π?6??2?8π厘米；

360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：

120π?62??2?15?24π?15平方厘米．

360【答案】24π?15

【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形

由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点经C1到C2走过的路径的长．

A2B60?ⅠC30?AC1ⅡB1ⅢC2BA

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于BC为AC的一半，所以?CAB?30?，则弧CC1为大圆周长的

周长的

180??30?5?，弧C1C2为小圆

360?121，而CC1?C1C2即为C点经C1到C2的路径，所以C点经C1到C2走过的路径的长为45150652π?20??2π?10??π?5π?π(厘米)．

1243365【答案】π

3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这

个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．

A1A2ⅣDEⅠABⅡCⅢDⅣEAⅠBⅡCⅢ

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

这三段路程分别是：

【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．

1第1段是弧AA1，它的长度是2?π?4?(cm)；

41第2段是弧A1A2，它的长度是2?π?5?(cm)；

44-3-3 圆与扇形 题库 page 2 of 15 1第3段是弧A2E，它的长度是2?π?3?(cm)；

4111所以A点走过的路程长为：2?π?4??2?π?5??2?π?3??6π(cm)．

444【答案】6π

【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如

图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)

30A301010B20C

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的

3个圆，B，C分别是41个圆． 4311所以羊活动的范围是π?302??π?202??π?102?

444311???π??302??202??102??

444???2512．

半径为20米和10米的

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方

的总面积．(圆周率按3.14计算)

33【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

和．所以答案是43.96m2．

【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°的扇形之【答案】43.96

【例 3】 如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60?，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．

4-3-3 圆与扇形 题库 page 3 of 15 B'60?

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 面积?圆心角为60?的扇形面积?半圆?空白部分面积(也是半圆)?圆心角为60?的扇形面积

603??π?32?π?4.5(cm2)． 3602【答案】4.5

AB

【例 4】 如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，?ABC?60?，此时BC长5厘米．以点B为

中心，将?ABC顺时针旋转120?，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)

ECABD

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 注意分割、平移、补齐．

E(1)C(2)A

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，

因为?EBD?60?，那么?ABE?120?，

1则阴影部分为一圆环的．

31所以阴影部分面积为?π??AB2?BC2??75(平方厘米)．

3【答案】75

【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋

转90?，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)

BD4-3-3 圆与扇形 题库 page 4 of 15 AO

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA．

1因此可以求得，三角形扫过的面积为：24??π?10?10?24?25π?99(平方厘米)．

4【答案】99

【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，?B为直角，且BC?2厘米，AC?4 厘米，

则在将?ABC绕C点顺时针旋转120?的过程中，AB边扫过图形的面积为 ．(π?3.14)

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