《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）第二章(4)

x2 ??tdt?

02x当1≤x<2时F(x)??x??0f(t)dt

f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x1x????1??tdt??(2?t)dt01

?1x23

2?2x?2?2x2??2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

??0,x?0?x20?x?1故 F(x)???2,

?x2???2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

?bx,0?x?(2) f(x)=?1,?12,1?x?2,

?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由

????f(x)dx?1知1???ae??|x|dx?2a??e??xdx2a??0??

故 a??2

??e??x,x?0即密度函数为 f(x)????2????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x???2e?xdx?12e?x 当x>0时F(x)??x)dx??0?x??f(x??2e?xdx??x???02edx

?1?1??2ex 11

故其分布函数

?1??x1?e,x?0??2F(x)??

?1e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??1bxdx?210?1x2dx?b2?12 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2

?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0

??xdx?x20x2

当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??01x1??0dx??0xdx??1x2dx ?32?1x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?3?1?x?2?2?1x,?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01

即 1??(z?)?0.01 即

?(z?)?0.09

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故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即

?(z?/2)?0.9985

查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,?,令 2?1,当X取偶数时Y??

?1,当X取奇数时.?求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

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?(1)2?(1)4???(1)2k 222???(1

4)/(1?114)?3P(Y??1)?1?P(Y?1)?23 30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)111Y(y)?dy?yf(lny)?y2πe?ln2y/2x,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y)

?P??X2?y?1???P???y?1y?1??2???X??22?? ? ??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

故 fdF12??Y(y)?dyY(y)?4y?1??f???y?1?y?1??X??2???fX???2??? ????? ?121y?12πe?(y?1)/42,y?1

(3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

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??y?yfX(x)dx

故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?2?y2/22πe,y?0 31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FXY(y)?P(e?y)?1 即分布函数

?0,y?1F??Y(y)?lny,1?y?e

??1,y?e故Y的密度函数为

?1fy)???y,1?y?eY( ??0,其他（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1e?z/2dx?1?e?z/2

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