《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）第二章(2)

来源：网络收集时间：2026-08-25

导读： 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14?1??e?5(X?15)5kP?0.000069

k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

10 ??e?55kk?0k!?0.986305

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) ??5e?5 5k?0.615961k?0k!

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

????f(x)dx?1得

1???Ae?|x|dx?2????0Ae?xdx?2A

故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?x1?12?0edx?2(1?e)

(3) 当x<0时，F(x)??x1??2exdx?12ex 当x≥0时，F(x)??x1??2e?|x|dx??01xx1??2edx??02e?xdx ?1?1?x2e

?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0

x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100??,x?100,

f(x)=?x2?x?100.?0,求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）. 【解】

1001dx?. ?100x2328p1?[P(X?150)]3?()3?

32741122(2) p2?C3()?

339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt

100100dt?1? ?100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1

即分布函数

?x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa 7

?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??故所求概率为

5312dx? 3323202221p?C3()?C3 3()?3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x?1?5?e,x?0 f(x)??5?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为

x1?5P(X?10)??edx?e?2

105?Y~b(5,e?2),即其分布律为

kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??10 8

若走第二条路，X~N（50，42），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

4??4故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2）若X~N（40，102），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

10??10若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

44?? ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1）求P{2

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12? ??0.06??0.06

?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】P(120?X?200)?P??120?160???X?160200?160?????? ???40???????????40??????2???40??????1?0. 8故 ??401.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为

（x）=??A?Be?xtF,x?0,0,(??0),

?x?0.（1）求常数A，B；

（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f（x）. …… 此处隐藏：1034字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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