第7章计算方法的MATLAB实现讲稿(4)

最小二乘法通过最小化残差的平方和来获得待定系数的估计。第i个数据点的残差定义为测量响应值yi和拟合响应值yi之间的差值，即ri?yi?yi，残差的平方和S????ri?1n2i??(yi?yi)2。

i?1n?常见的最小二乘法包括线性最小二乘、加权线性最小二乘、稳健最小二乘和非线性最小二乘等。求解非线性最小二乘问题的Gauss-Newton法和Levenberg-Marquart法是老牌算法。

- 143 -

第7章 计算方法的MATLAB实现

7.4.2 多项式曲线拟合

用polyfit函数计算拟合数据集的多项式在最小二乘意义上的系数，调用形式为：

p=polyfit(x,y,n)

x和y是包含要拟合的x和y数据的向量，n是多项式的阶次。

例7－10 程序代码：

x=1:10;

y=[1 3 31 133 381 871 1723 3081 5113 8011];

P=polyfit(x,y,4)%多项式曲线拟合，返回多项式的系数。 运行结果：

P =

1.0000 -2.0000 -0.0000 1.0000 1.0000

7.4.3 相关工具

MATLAB支持用基本拟合界面进行拟合。该拟合界面具有拟合快速，操作简便的优势。它具有如下功能：

●使用样条插值、分段三次艾尔米特插值（PCHIP）或者是1到10阶的多项式插值进行数据拟合；

●利用一组数据可以同时作多条拟合曲线； ●可以绘制残差图； ●可以检查拟合结果；

●可以对拟合进行内插或外推；

●用拟合结果和标准残差在图中进行注释；

●可以将拟合和计算结果保存到MATLAB工作空间。 下面结合一个具体的例子加以说明。

例7－11 某商店某种产品的销售量如表7－2所示。

表7－2 某产品销售量资料

年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 销售量（万件） 10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 请用多项式曲线拟合上述数据。 按照下面的步骤进行操作。

- 144 -

第7章 计算方法的MATLAB实现

⑴用上述数据绘散点图和线形图的组合图（见图7－8）； 程序代码：

%说明多项式曲线拟合界面的使用方法 x=2001:2009;

y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]; scatter(x,y,'filled','r')%绘散点图 hold on plot(x,y) hold off

图7－8 散点图和线形图的组合图

⑵在图形窗口的“Tools”菜单中单击“Basic Fitting”菜单选项； ⑶两次单击“→”按钮。

打开的曲线拟合界面“Basic Fitting”对话框如图7－9所示。 基本拟合界面中各选项的功能包括：

●Select data下拉式列表框：该列表框中显示了图形窗口中图形用到的所有数据集的名称，在其中选择要拟合的数据。一次只能选择一组数据，但在一组数据里可以同时拟合多条曲线。

●Center and scale x data单选钮：选择此项以后，数据中心化为具有0均值，比例化为具有单位标准差。对数据进行中心化和比例化，可以提高后面数值计算的精度。

- 145 -

第7章 计算方法的MATLAB实现

●Plot fits：使用本面板，可以用图形查看当前数据集的一种或多种拟合结果。

●Check to display fits on figure：选择当前数据集的拟合类型。有两种拟合类型可供选择，即插值和多项式。进行三次样条插值使用Spline函数，保形（shape-preserving）插值使用pchip函数（三次插值）。多项式拟合使用polyfit函数。可以选择多种拟合类型。

●Show equations单选钮：选此项，在拟合图形上显示方程。

●Plot residuals单选钮：选此项，显示拟合曲线的残差，可用条形图、散点图或线形图显示。

●Show norm of residuals单选钮：选此项，显示残差的范数。残差的范数是表示拟合优度的一个统计量，值越小，表示拟合程度越高。用norm函数进行计算，即norm(V,2)，其中V为残差向量。

图7－9 基本拟合界面

●Numerical results方框：使用该面板，可以在不绘拟合图的情况下探察对当前数据集进行单次拟合的数值结果。

●Fit：选择拟合当前数据集的方程。拟合结果显示在菜单下面的列表框中。注意，在该菜单中选择方程并不影响“Plot fits”面板的状态。所以。如果试图在数据散点图中显示拟合曲线，可能需要在“Plot fits”面板中选择有关的核选

- 146 -

第7章 计算方法的MATLAB实现

框。

●Coefficients and norm of residuals：显示“Fit”中选择的方程的计算结果。 ●Save to workspace?：打开一个对话框，使用它将拟合结果保存到工作空间变量中。

●Find Y=f(X)：对当前的拟合进行内插或外推。 ●Enter value(s)：输入一个MATLAB表达式，进行拟合计算。单击“Evaluate”按钮以后计算表达式，结果显示在有关的表格中。当前拟合显示在“Fit”菜单中。

●Save to workspace?：打开一个对话框，使用它将拟合结果保存到工作空间变量中。

●Plot evaluated results：选择此项，计算结果显示到图中的数据点上。 ⑷在基本拟合界面中作以下设置（见图7－10）： ●用二次多项式拟合数据； ●在拟合图上显示方程；

●将拟合残差作为条形图显示，并将残差的图形作为子图显示； ●显示残差的范数。

当前数据集

用二次多项 式拟合数据

显示方程

绘残差图

显示残差 的范数

图7－10 进行选项设置

⑸利用“Plot fits”面板可以可视地探察当前数据集的多个拟合图形。为了进行比较，通过选择合适的核选框来拟合数据的其他方程。如果某个方程生成

- 147 -