Q格式运算讲解

第3章 DSP芯片的定点运算

3.1 数 的 定 标

在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。

DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此

二进制数0010000000000011b＝8195 二进制数1111111111111100b＝-4

对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。

通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表3.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。

从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如：

16进制数2000H＝8192，用Q0表示 16进制数2000H＝0.25，用Q15表示

但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。

从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。

浮点数与定点数的转换关系可表示为：

浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq?(int)x?2Q 定点数(xq)转换为浮点数(x)：x?(float)xq?2?Q

例如，浮点数 x=0.5，定标 Q＝15，则定点数xq＝?0.5?32768??16384，式中

-15

??表示下取整。反之，一个用 Q＝15 表示的定点数16384，其浮点数为16384×2

＝16384/32768=0.5。

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表3.1 Q表示、S表示及数值范围

Q表示 Q15 Q14 Q13 Q12 Q11 Q10 Q9 Q8 Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1 Q0 S表示 S0.15 S1.14 S2.13 S3.12 S4.11 S5.10 S6.9 S7.8 S8.7 S9.6 S10.5 S11.4 S12.3 S13.2 S14.1 S15.0 十进制数表示范围 -1≤X≤0.9999695 -2≤X≤1.9999390 -4≤X≤3.9998779 -8≤X≤7.9997559 -16≤X≤15.9995117 -32≤X≤31.9990234 -64≤X≤63.9980469 -128≤X≤127.9960938 -256≤X≤255.9921875 -512≤X≤511.9804375 -1024≤X≤1023.96875 -2048≤X≤2047.9375 -4096≤X≤4095.875 -8192≤X≤8191.75 -16384≤X≤16383.5 -32768≤X≤32767

3.2 高级语言：从浮点到定点

在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。

例3.1 256点汉明窗计算

int i; float pi=3.14159; float hamwindow[256];

for(i=0;i<256;i++) hamwindow[i]=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255);

如果要将上述程序用某种定点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面讨论基本算术运算的定点实现方法。

3.2.1 加法/减法运算的C语言定点模拟

设浮点加法运算的表达式为：

float x,y,z;

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z=x+y;

将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示。如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。

1．结果不超过16位表示范围

设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则

z＝x+y ?

zq?2?Qz?xq?2?Qx?yq?2=xq?2?Qx?yq?2=[xq?yq?2(Qx?Qy)?Qy

(Qx?Qy)?2?Qx

(Qx?Qy)]?2?Qx ?

zq?[xq?yq?2]?2(Qz?Qx)

所以定点加法可以描述为：

int x,y,z; long temp; /*临时变量*/ temp＝y<<(Qx－Qy); temp＝x＋temp;

z＝(int)(temp>>(Qx－Qz)), 若Qx≥Qz z＝(int)(temp<<(Qz－Qx)), 若QxQ≤z 例3.2 定点加法

设x＝0.5，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x+y＝0.5+3.1＝3.6; Qx＝15，Qy＝13，Qz＝13，则定点加法为： x＝16384；y＝25395;

temp＝25395<<2＝101580;

temp＝x+temp＝16384+101580＝117964; z＝(int)(117964L>>2)＝29491;

因为z的Q值为13，所以定点值z＝29491即为浮点值z＝29491/8192＝3.6。

例3.3 定点减法

设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝3.0-3.1＝-0.1; Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为： x＝24576；y＝25295； temp＝25395;

temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;

因为Qx

2．结果超过16位表示范围

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设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：

int x，y；

long temp，z；

temp＝y<<(Qx-Qy)； temp＝x＋temp;

z＝temp>>(Qx-Qz)，若Qx≥Qz z＝temp<<(Qz-Qx)，若Qx≤Qz 例3.4 结果超过16位的定点加法

设x＝15000，y＝20000，则浮点运算值为z＝x＋y＝35000，显然z>32767，因此 Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为： x＝30000；y＝20000； temp＝20000<<1＝40000;

temp＝temp+x＝40000+30000＝70000; z＝70000L>>1＝35000;

因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。

当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。

3.2.2 乘法运算的C语言定点模拟

设浮点乘法运算的表达式为：

float x,y,z; z = xy;

假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则

z = xy ?

zq?2?Qz=xq?yq?2zq =(xqyq)2?(Qx?Qy) ?

Qz?(Qx?Qy)

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