大学物理习题解力学1234910(4)

F?nm?dl1?3.14?102N

?(l1?l2)t4 – 18 如图4 – 3所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？

分析 由于空气的阻力矩与角速度成正比，由转动定律可知，在变力矩作用下，通风机叶片的转动是变角加速转动，因此，在讨论转动的运动学关系时，必须从角加速度和角速度的定义出发，通过积分的方法去解。

解 （1）通风机叶片所受的阻力矩为M??C?，由转动定律M?J?，可得叶片的角加速度为

??根据初始条件对式（1）积分，有

由于C和J均为常量，得

???0e?CtJd?C??? dtJt图4 – 3

（1）

???0d?????0Cdt J （2）

1当角速度由?0??0时，转动所需的时间为

2J t?ln2

C（2）根据初始条件对式（2）积分，有

?0d???0?0eJ?0 2C?t?CtJdt

即 ??在时间t内所转过的圈数为

N?

J?0?? 2?4?C4 – 21解 根据角动量守恒定理 J2???J1?J2??? 式中J2 = m2 ( l / 2 )2为子弹绕轴的转动惯量， J2ω为子弹在陷入杆前的角动量，ω= 2v/ l为 子弹在此刻绕轴的角速度。J1 = m1 l2 / 12为杆 绕轴的转动惯量，可得杆的角速度为 ???J2?6m2v??29.1s?1

J1?J2?m1?3m2?l 4 – 30解：（1）在拉力的作用下，小球的角动量守恒，所以有

J0?0?J? 或?rmr0?0?m(0)2?

2??4?0?0mr0（2）由动能定理，得拉力做功

1r02m()(?40224-36解 W?2)?132m0r2?02?m0r? 0222?F 第九章 振动

9－7 若简谐振动的方程为x?0.10cos(20?t?0.25?)(m)，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度。

(2t?0解：（1）将x?0.10cos??0.2m5与)x?Acos(?t??)(m)比较后可得

振幅A?0.10(m)，角频率??20?(s?1)，初相??0.25?1（HZ）??0.1(s)，频率??T?10（2）t?2s时的位移、速度和加速度分别为：

周期T?2?x?0.10cos(40t?0.25?)?7.07?10?2(m)

v?dx??2?sin(40??0.25?)??4.44(m?s?1) dtdva???40?2cos(40??0.25?)??2.79?102(m)

dt9－12 一放置水平桌面上的弹簧振子，振幅周期当时（1）物体在正上方端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x?1.0?10?2m位置，向负方向运动；（4）物体在x??1.0?10?2m位置，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。

解 由题给条件知A?2.0?10?2m转矢量法来求。

cos?(?t?，)当t?0时，有（解析法）根据简谐振动方程x?A??2?T?4?s?1而初相可采用解析法和旋

x0?Acos?,v0??A?sin?,当

（1）x0?A,?cos?1?1,??1?0; （2）x0?0,?cos?2?0,??2???2,因v0?0,取?2??2;

cos?3?0.5,??3??（3）x0?1.0?10?2m时，?3,因v0?0,取?3??3; 4?; 3cos?4??0.5,??4???（4）x0??1.0?10?2m时，?3,因v0?0,取?4?

2? 3

?xNA 02?M Ov0P1xOA2

4

（旋转矢量法）分别画出四个不同的初始状态旋转矢量图（如图示）。 它们对应的初相分别为

??4??1?0，?2?,?3?,?4?;

233x由于振幅A?2.0?10?2m角频率程为

(1)(2)(3)(4)x?2.0?10?2cos4?tx?2.0?10?2cos(4?t??)2x?2.0?10?2cos(4?t??)3x?2.0?10?2cos(4?t?4?)3??2?T?4?s?1，则各相应状态下的运动方

9－13 有一弹簧，其下端挂一质量为的物体时，伸长量为。若使物体上下振动，且规定向下为正方向，（1）当时，物体在平衡位置上方处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）当时，物体在平衡位置并以的速度向上运动，求运动方程。 解：当弹簧挂上m 时，物体处于平衡状态，取如右图所示 的坐标，有：

mg?(?k?l)?0

mg

?k? ?l所以，振动系统的圆频率ω为 ?l09.8?1 ??k?g??10smm?l9.8?10?2

（1）t =0 时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m 处， 由静止开始向下运动，即有 x10??8.0?10?2m

v10?0 2由此求得振幅A ?x2?v10?8.0?10?2m10?2

? ??运用旋转矢量图求得初相 ?OO 则，运动方程为： x?(8.0?10?2m)cos[(10s?1)t??]?x ?v0?xx （2）t =0时，物体在平衡位置并以0.60 m·s-1的速度向上运动，即有

x20?0v20??0.6m?s?1

振幅

2A?x20?(v20?)2?6.0?10?2m

运用旋转矢量图求得初相 ???2

则，运动方程为：x?6.0?10?2cos(10?t?0.5?)

第十章 波动习题

10－12 图示为平面简谐波在t?0时的波形图，设此简谐波的频率为250HZ，且

图中质点P的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程。（2）在距离原点O为7.5m处质点的振动方程与t?0时的振动速度，

10－12解 (1)从图中可知，

波的振幅A?0.10m，波长??20.0m，则波速u????5.0?103m?s?1 根据t?0时点P向上运动，可知波沿Ox轴的 负向传播，并判定此时位于原点处的质点沿Oy 轴的负向运动。

利用旋转矢量法可得其初相?0?故波动方程为

ymP10.0m0.100.05?， 3O?0.10xm y?Acos??(t?x)??0??0.10cos?500?(t?x)???m

u50003????(2)距原点O为x?7.5m处质点的运动方程为

y?Acos(500?t?13?)12(m)

t?0时该点的振动速度为

dxv?()t?0??50?sin13??40.6m?s?1

12dt10－13 如图所示为一平面简谐波在的波形图，求（1）该波的波动方程；（2）P

处质点的振动方程。

10－13 解 （1）由图可知：

振幅A?0.04m，波长??0.40m，

2?2?u2??1??s 波速u?0.08m?s?1，则??T?5y??u?0.08m?s?1利用旋转矢量法可得其初相?0??， m2故波动方程为

P?2??y?0.04cos?(t?x)???m

0.082??5O?0.040.200.400.60xm

(2)距原点O为x?0.20m处质P点的运动方程为

y?0.04cos(2?t??)m

25