大学物理习题解力学1234910(2)

又因v?dx/dt，并由质点运动的初始条件：t0?0时，对上式分离变x0?5.0m量后积分，有

?xx0dx??(6.0m·s?1?(4.0m·s?2)t?(6.0m·s?3)t2]dt

0t x?5.0?6.0t?2.0t2?2.0t3

2-15、解（1）飞机受到的阻力Ff???t，由牛顿第二定律有

分离变量并积分之，有 v?v0?

（2）又由速度的定义v?dx，有 dtvtFf???t?mdv dt?v0mdv????t?dt

01122?1?t2?55.0??5.0?10?10?30m?s 32m2?1.0?10??x?x?0?v0t?x0dx??v?dt??(v0?00tt1?t2)dt 2m积分之，得到飞机飞行的距离

13t6m?

1?55.0?10??5.0?102?103?467m36?1.0?102-18、解：以小球为研究对象，

小球作变加速的圆周运动，如图建立自然坐标系。

对小球进行受力分析，小球受到重力和支持力作用，由牛顿第二定律有：

???FN?P?ma

其分量式为：

A

O ?D ?FN?en?C ?vet?PFN?mgcos??man?mr?2dv?mgsin??mat?mdt

由于

dvdvd?dvvdv?????（变量变换），在A 点?A??,v?0，在C dtd?dtd?rd?2点?C??,vC?v，由第三式分离变量并积分得：

1v???2sin?d???gr?0vdv?v?2grcos?????v2g?cos?rr

将角速度代入第二式求得支持力

FN?3mgcos? 其方向为法向。

第三章

动量守恒定律和能量守恒定律

3-6 一架以3.0?102m·s?1的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰. 设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计. 试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）. 根据本题的计算结果，你对于高速运动的物体（如飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石子）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？

3-6、解 以飞鸟为研究对象，取飞机运动方向为x轴正向. 由动量定理得 F??t?mv?0

式中F?为飞机对鸟的平均冲力，而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为

?t?l/v，以此代入上式可得

mv2?2.25?105N F??l鸟对飞机的平均冲力为

F??F???2.25?105N

式中负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反. 从计算结果可知，2.25?105N的冲力大致相当于一个22 t的物体所受的重力，可见，此冲力是相当大的. 若飞

鸟与发动机叶片相碰，足以使发动机损坏，造成飞行事故.

3-13、A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m.s-1的速度继续向前驶去，A、B两船原有质量分别为0.5×103kg和1×103kg求在传递重物前两船的速度。

3-13、解： 设A、B两船原有质量和速度分别为m1、m2和v1 、v2，由于两船相向

运动，取B船的运动方向为正方向，则两船原有总动量为： P1v1 (1) 总?m2v2?m 传递重物后，A船的动量为零，即

50v2?(m1?50)v1?0 （2） 传递重物后，B船的动量

(m2?50)v2?50v1?3.4m2 (3) 解(2)、（3）式，并将数据代入求得A、B两船 的速度分别为

OAX?v10B?v20v1??0.4m?s

?1v2?3.6m?s?1

3-20、一人从10.0m深的井中提水，起初童装有10.0kg的水，由于水桶漏，每升一米要漏去 0.20kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功 。 3-20、解：如图，建立坐标系。水桶在上提过程中，

拉力的元功

dW?Fdx?mgdx

dm??0.20kg?m?1 由于漏水，有 dx?1所以， dW?mg()dm

0.2xFt由初始条件有：当t0?0(x?0)时，m?10.0kg

当错误！链接无效。

积分之，得拉力做功

xomgt0 ?g8.0?g28.0W??dW?mdm?m?882J

10.00.2?10.00.4解二：如图，建立坐标系。水桶在上提过程中，

拉力的元功

dW?Fdx?mgdx

dm??0.20kg?m?1 dxdmx)dx 所以 dW?mgdx?(m0?dx由于漏水，有

积分之，得拉力做功W??dW?g?(m0?0.20x)dx?g(10x?0.1x2)010100?882J

3—23、 如图3—21（a）所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2. 问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起. （设弹簧的劲度系数为k）

3—23、解 选取如图[3-21（b）]所示坐标，取原点O处为重力势能和弹性势能零点.作各状态下物体受力图. 对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有

F1?P 1?F （1）

当外力撤除后，按分析中所选的系统，由机械能守恒定律可得

1212ky1?mgy1?ky2?mgy2 22式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移. 因为F1?ky1,F2?ky2及P1?m1g，上式可写为

F1?F2?2P1

由式（1）、（2）可得

F1?P 1?F2 （3）当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力F2'?P2且F2?F2'. 由式（3）可得

F?P1?P2?(m1?m2)g

应注意，势能的零点位置是可以任意选取的. 为计算方便起见，通常取弹簧原长时的弹性势能为零点，也同时为重力势能的零点

3—27、如图所示，天文观测台有一半径R为的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。 3—27、解：设冰块的质量为m,其在A点离开屋面，而且在该点冰块的速率为v,由机械能守恒定律有：

12mv?mg?h?mgR(1?sin?) （1） 2R?在A点，冰块仅受重力作用，由牛顿第二定律有

v2mgsin??m （2）

R 解上二式得：

??arcsin?41.80v?2Rg3

23速度的方向与重力方向夹角为??48.20

3—29、如图所示，质量为m速度为v的钢球，射向质量为m的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面作无摩擦滑动。求子弹射入靶内后，弹簧的最大压缩距离.

解：将钢球、靶和弹簧视为系统（研究对象），钢球射入靶（碰撞）是完全弹性碰撞，碰撞前后，系统地动量守恒，机械能也守恒，而且弹簧被压缩距离最大时，钢球、靶和弹簧具有相同的速度V，因此有

′

?vm?m