2012高考数学知识点综合总结(5)

周期性 奇偶性 单调性 2? 奇函数 ?22? ? ? 2?? 偶函数 [?2k?1??,奇函数 ?????k?,?k????2?2?奇函数 当?当??0,?0,非奇非偶 奇函数 [??2k?,2k?]；?k?,?k?1???上为减函数（k?Z） ?2?2k?]上为增函上为增函数数[2k?,（k?Z） 上为增函数[；?2k?,?2k?]?2k?1??]???2k??????2(A),???????12k???????2?(?A)?????22上为减函数 （k?Z） 上为增函数； ???2k??????2(A),???????3?2k??????2(?A)?????3?上为减函数（k?Z） 上为减函数注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）.

▲（k?Z） 的单调性也同样相y②y?sinx与y?cosx的周期是?.

?cos(?x??)??③y?sin(?x??)或yy?tanx2（??0）的周期T?2??.

xO的周期为2?（T??T?2?，如图，翻折无效）.

?2④y?sin(?x??)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称?k??（k?Z），对称中心（k?,0）；y?12?cos(?x??)的

?k?（k?Z），对称中心（k?；y?,0）

?ant(（?x??)的对称中心

k?2. ,0）

y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x

tan?⑤当tan?·

?1,????k???2(k?Z)；tan?tan?·

??1,????k???2(k?Z).

⑥y?cosx??与y?sin??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ?x??2?12y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).

⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

f(?x)??f(x)）

f(?x)?f(x)，奇函数：

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奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有质）

▲f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性

⑨y?siny?cosxx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； y▲yx1/2x是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象y?cos2x?12的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a?b22sin(???)?cos??ba 有a2?b2?y.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?|?|，频率f?1T?|?|2?，相位?x??;初相?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

?替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，?x??，?????2?2??? 第 22 页 共 76 页

1］，值域是?????－2，2???．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，????????x???，????22???的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－

∞，＋∞），值域是??????，??22?．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：?反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，?x???1,1（一定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数） 注：sin(arcsinx)?x，x???1,1?，arcsinx????,??.

???22??反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?.

注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??.

②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ?反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（??(??,??). 注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).

arctan(?x)??arctanx，x??2,2），y?arctanx是奇函数，

?反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（?偶.

arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??).

??2,2），y?arccotx是非奇非

注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).

②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y非奇非偶但满足arccos(?arctanx同理为奇而y?arccosx与

y?arccotx?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].

? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 ①sinx?aa的取值范围 解集

的解集 ②cosx?a的解集

a＞1 ? a＞1 ?

a=1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z?

a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z?

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a＜1

?x|x?k????1??karcsina,k?Z? a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z?

③tan③cot

x?a的解集：x|x?k??arctana,k?Z?

x?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z?

二、三角恒等式. 组一

组二

ncos?cos2?cos4?...co2s??nsin22n?1n?1?sin3??3si?n?4sin?co3s??4cos??3co?s33sin??sin??si?n????si?n???22?si?n?cos??cos?22?cosk?1?2k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2sinn

?n2n?cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?k?0nsin((n?1)d)cos(x?nd)sind

?k?0sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)sind

tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?

组三 三角函数不等式

sinx＜x＜tan??x,x?(0,?2)

f(x)?sinxx在(0,?)上是减函数

若A?B?C，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC

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