向量与圆锥曲线 - 图文(3)

五．斜率乘积为?1

1.椭圆中的垂直问题

y?1，过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，过O3作直线AB的垂线，求点D的轨迹方程.

例1.设椭圆C：?

例2.求t?(0,b)使得下述命题成立：设圆x?y?t上任意点M(x0,y0)处的切线交椭圆

222x422

x2y2?2?1于Q1,Q2两点，则OQ1?OQ2. 22bb

x2y2?1交于A,B两点例3.如图，n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆C：?43的直线，|OP|?1，是否存在上述直线l使得AP?PB?1成立？若存在，求出直线l的方程；若不

存在，请说明理由.

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2.当圆锥曲线上的两点P,Q满足OP?OQ时，椭圆中便存在一个直角三角形Rt?OPQ，通过以上的例题可以发现，其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的，包括两条直角边的关系、斜边的长度问题、斜边上的高的轨迹，以及它的面积的取值范围，真可谓把这个直角三角形剖析得淋漓尽致了。但如果这不是一个直角三角形，也就是说?POQ?90?，情形又会如何。是否有类似的结论呢？

提醒读者，将夹角问题转化为向量数量积的问题仍是首选方法，因为它更具有一般性，见如下方法总结：

（1）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆外?BA?BC?0； （2）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆上?BA?BC?0； （3）?ABC?90??B若在以AC为直径的圆内?BA?BC?0.

m2?0，设例1.已知m是非零实数，抛物线C：y?2px(p?0)的焦点F在直线l：x?my?2直线l与抛物线C交于A,B，过A,B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1,B1，如图所示，?AA1F,?BB1F的重心分别为G,H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

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x2y2例2.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左顶点为A，过右焦点F的直线交椭圆于B,C两点，直

aba2线AB,AC分别交右准线x?于点M,N，试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明

c理由.

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3.抛物线中的定点问题

【框架】A,B是抛物线y?2px(p?0)上的两动点，其中?,?分别为OA,OB的倾斜角，则我们有如下框架图：

OA?OB?kOA?kOB??1?|???|?22?2?AB恒过定点(2p,0).

例1.设A,B是抛物线y?2px(p?0)上异于原点的两个不同点，直线OA,OB的倾斜角分别为

?,?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐

标.

例2.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y?4x相交于不同的A,B两点，如果

2OA?OB??4，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标.

2例3.已知抛物线y?4x，过点M(1,2)作两直线l1,l2分别与抛物线交于A,B两个不同的点，且

l1,l2的斜率k1,k2满足k1k2?2，求证：直线AB过定点.

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六．斜率之和为零

x2y2【框架】A(x0,y0)是椭圆C：2?2?1(a?b?0)上一定点，E,F是C上两个动点；?和?分

ab别表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图：

b2 kAE?kAF?0???????kOA?kEF?2.

ax2y2?3???1及定点A?1,?，E,F是C上的两个动点；例1.已知椭圆如果直线AE的斜率与AF243??的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出该定值.

例2.已知A,B,C是长轴为4，焦点在x轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0,|BC|?2|AC|. （1）求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上的两点P,Q，使得?PCQ的平分线垂直于OA，问是否总存在实数?，使得

PQ??AB？说明理由.

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2【框架】A(x0,y0)(x0?0)是抛物线C：y?2px上一定点，E,F是C上两个动点；?和?分别

表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图： kAE?kAF?0???????kOA?kEF??p. x02例1.过抛物线C：y?2px(p?0)上一定点P(x0,y0)(y0?0)，作两条直线分别交抛物线于

A(x1,y1),B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求

斜率是非零常数.

y1?y2的值并证明直线AB的y0例2.M是抛物线y?x上的一点，动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点，且MA?MB，若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

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