向量与圆锥曲线 - 图文

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程,如果M没有在曲线上,则必须把M的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理.

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课后练习:

x2?y2?1交于不同的两点E,F(E1.已知定点M(2,0),若过点M的直线l(斜率不为零)与椭圆3S在点M,F之间),记???OME, 求实数?的取值范围.

S?OMF

x2y22.椭圆2?2?1的两个焦点分别为F1(?c,0)和F2(c,0),过点E(3c,0)的直线与椭圆交于A,B3c2c两点, 且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|, 求直线AB的斜率.

3.已知抛物线C:y?4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线l与x轴交于点C,设MA??AC,MB??BC,试问???是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.

2x2y2??1,过右焦点F的直线l与C交于A,B两点,C上是否存在点P,使得当l绕F4.椭圆C:32转到某一位置时,有OP?OA?OB成立?若存在,求出所有P的坐标与l的方程;若不存在, 请说明

理由.

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二.面积计算

求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.

例1.如图,M(1,1)是抛物线C:y?x上一点, A,B是C上的两点,线段AB被直线OM平分且

21P(1,), 求?ABP面积的最大值.

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y2x22.已知直线l与椭圆2?2?1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 已知m?(ax1,by1),n?(ax2,by2),

ab?3?3,1?若m?n且椭圆的离心率e?, 又椭圆经过点???, O为坐标原点. 试问?AOB的面积是否22??为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.

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3.已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x?3y?4上,对角线BD所在直线的斜率为1. (1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程; (2)当?ABC?60?时,求菱形ABCD面积的最大值.

22x2y2C1的长轴是圆C2:x2?y2?44.如图，点P(0,?1)是椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点，

abl2交椭圆C1于另一点D 的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，

（1）求椭圆C1的方程；

y （2）求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

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D O P A

l1 B x l2 三．切线问题

x2y21.如图，设椭圆C:2?2?1(a?b?0)动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象

ab限.

（1） 已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；

（2） 若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a?b.

12x，圆C2：x2+(y-1)2=1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线4PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.

2.如图，已知抛物线C1：y=(1)求点A，B的坐标； (2)求?PAB的面积.

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