向量与圆锥曲线 - 图文(2)

5x2y23.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为.

3ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

4.如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，AB?410，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x?2py(p＞0)上，其中，点C满足OC?OA?OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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练习：如图，已知抛物线x?4y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明FM?AB为定值.

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2b2四、斜率乘积为?2

ax2y2b21.已知M,N椭圆C：2?2?1(a?b?0)上的两点，则P是M,N的中点?kMN?kOP??2;

abax2y2类似地，对于双曲线C：2?2?1，则有____________________.

ab若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？

x2y22.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右顶点为A1,A2，点M是C上异于A1,A2的任意

abb2一点，则kMA1?kMA2??2;

ax2y2类似地，对于双曲线C：2?2?1，则有____________________.

ab3.对于上述，若A1,A2为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？ 4.若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？

y2?1于A,B两点，ON?1(OA?OB)，则直线AB的例1.过点N(1,2)的直线交双曲线x?222方程是____________

x2y21例2.过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A,B，若M是线段

ab2AB的中点，则椭圆C的离心率是_________

x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭圆C 上有例3.已知椭圆C：?43两个不同的点关于这条直线对称.

x2y2??1，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，例4.已知椭圆的方程为42过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，设直线的斜率为k，求证：对任意k?0，PA?PB.

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x2y2例1.P(x0,y0)(x0??a)是双曲线E：2?2?1(a?0,b?0)上一点，M,N分别是双曲线E的

ab1左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为，则双曲线的离心率是_________________

5x22例2.如图，已知A,B分别为曲线C：2?y?1(y?0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，

a且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. 点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，

请说明理由.

y2例3.已知椭圆C：x?2?1，过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象

m限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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x2y24.已知椭圆的方程为C：2?2?1(a?b?0)，A,B是椭圆上的两动点，M为平面上一动

ab点且满足OM??OA??OB，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：

kOA?kOBb2??2a?2??2?1

M在椭圆上x2y2例1.已知椭圆的方程为C：2?2?1(a?b?0)，A,B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点且

abb222满足OM??OA??OB且????1，证明：kOA?kOB??2.

a

x2y2??1上的点，例2.设动点P满足OP?OM?2ON，其中M,N是椭圆直线OM与ON的421斜率之积为?，求动点P的轨迹方程.

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