2014年广州市一模数学（文科）试题与答案（全word无图片）(3)

设g(x)?x?6x?8x?3令g??x??0，解得x1?2?32?x?3?，则g?(x)?3x2?12x?8．

223?3，x2?2?3?3． 33当3?x?x2时，g??x??0，当x?x2时，g??x??0，

所以函数g?x?在区间?3,x2?上单调递减，在区间?x2,???上单调递增． 因为g?3??? 6?0，g?x2??g?3??0，g?5??12?0， 所以函数g(x)在区间?3,???上只有一个零点．

这与方程x?6x?9x?3?x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数f(x)在?3,???上不存在“域同区间”．

21．（本小题满分14）

（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E的半焦距为c，

32?c35,??由题意可得?a 5?c2?a2?4.?解得 a?5．

a25?5?（2）证明：由（1）可知，直线x??，点F2?3,0?．设点P?,t?,Q?x0,y0?，

33?3???????????5??QF2?0，所以?3?,?t??因为PF2??3?x0,?y0??0．

3??所以ty0?4?x0?3?． 3x02y0242??1，即y02??x0因为点Q?x0,y0?在双曲线E上，所以?5?． 545所以kPQ?kOQ2y0?ty0y0?ty0 ???5x052x0?x0?x033数学（文科）试题A 第 11 页 共 13 页

424x0?5???x0?3??43?5?．

55x02?x034所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

5（3）证法1：设点H?x,y?，且过点P??5?,1?的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，?3?N?x42,y2?，由（2）知y21?5?x2?5?，y2412?5?x22?5?． 设PMPN?MHHN??，则????????????PM???????PN,??????． ??MHHN.??即????x1?53,y1?1????????x2?5?3,y2?1??,

???x?x1,y?y1????x2?x,y2?y?.??x1??x2?5?1???,①?3整理，得??y1??y2?1??,②

??x1??x2?x?1???,③??y1??y2?y?1???.④?由①×③，②×④得?x2??2x2?51??2?123??x,⑤

??y221??y22??1??2?y.⑥将y2?422424x21??2x2215?x1?5?，y2?5?x2?5?代入⑥，得y?5?1??2?4．将⑤代入⑦，得y?43x?4． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．

证法2：依题意，直线l的斜率k存在． 设直线l的方程为y?1?k??x?53????，

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⑦

?5??y?1?kx???,?3???由?

22?x?y?1.?4?5消去y得94?5k?2?x2?30?5k2?3k?x?25?5k2?6k?9??0．

因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，N?x2,y2?，

??22??9005k?3k????900?4?5k2??5k2?6k?9??0,?30?5k2?3k??,则有?x1?x2? 29?5k?4???2255k?6k?9???.?x1x2?95k2?4???设点H?x,y?，

①

② ③

5PMMH3?x?x1． ?由，得

5x2?x1PNHNx2?3x1?整理得6x1x2??3x?5??x1?x2??10x?0．

150?5k2?6k?9?30?3x?5??5k2?3k?将②③代入上式得??10x?0． 229?5k?4?9?5k?4?整理得?3x?5?k?4x?15?0． ④ 因为点H在直线l上，所以y?1?k?x??． ⑤ 联立④⑤消去k得4x?3y?12?0． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．

（本题（3）只要求证明点H恒在定直线4x?3y?12?0上，无需求出x或y的范围．）

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