2014年广州市一模数学（文科）试题与答案（全word无图片）(2)

从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．

因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A包含4种情形． 则P?A??42?． 632． 3所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为

（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，

随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，

则(x,y)表示第一瓶抽到的是x，第二瓶抽到的是y，则(x,y)是一个基本事件．

由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a，b，

则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：

?1,2?，?1,3?，?1,4?，?1,a?，?1,b?，?2,1?，?2,3?，?2,4?，?2,a?，?2,b?， ?3,1?，?3,2?，?3,4?，?3,a?，?3,b?，?4,1?，?4,2?，?4,3?，?4,a?，?4,b?， ?a,1?，?a,2?，?a,3?，?a,4?，?a,b?，?b,1?，?b,2?，?b,3?，?b,4?，?b,a?．

共30种基本事件．

由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：

?1,a?，?1,b?，?2,a?，?2,b?，?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,1?，?a,2?， ?a,3?，?a,4?，?a,b?，?b,1?，?b,2?，?b,3?，?b,4?，?b,a?．

共18种基本事件． 则P(B)?183?． 3053． 5所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为

解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B， 随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，则(x,y)是一个基本事件．

由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a，b，

则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：

数学（文科）试题A 第 6 页 共 13 页

?1,2?，?1,3?，?1,4?，?1,a?，?1,b?，?2,3?，?2,4?，?2,a?，?2,b?，?3,4?， ?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,b?．

共15种基本事件．

由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：

?1,a?，?1,b?，?2,a?，?2,b?，?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,b?．

共9种基本事件． 则P(B)?93?． 1553． 5所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）因为函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，0?，

?π?3??所以f???????0． 3??即sin???π??π??acos?????0． ?3??3?即?3a??0． 223．

解得a?（2）由（1）得，

?1?3f(x)?sinx?3cosx?2??2sinx?2cosx??

???????2?sinxcos?cosxsin?

33??π???2sin?x??．

3??所以函数f?x?的最小正周期为2?．

数学（文科）试题A 第 7 页 共 13 页

因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ??????,2k????k?Z?， 22?πππ?x??2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增， 2325ππ即2kπ??x?2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增．

66所以函数f?x?的单调递增区间为?2kπ???5ππ?,2kπ???k?Z?． 66?

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结B1D1，BD，

因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以AC11?B1D1． 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，DD1?平面A1B1C1D1，

D1 A1 C1 B1

E D A AC11?平面A1B1C1D1，所以AC11?DD1．

因为B1D1?DD1?D1，B1D1，DD1?平面BB1D1D， 所以AC11?平面BB1D1D．

因为EF?平面BB1D1D，所以EF?AC11． （2）解：取C1C的中点H，连结BH，则BH?AE．

在平面BB1C1C中，过点F作FG?BH，则FG?AE． 连结EG，则A，E，G，F四点共面．

F B

C

D1 A1 C1

G B1 H

E 1111C1C?a，HG?BF?C1C?a， 22331所以C1G?C1C?CH?HG?a．

61故当C1G?a时，A，E，G，F四点共面．

6因为CH?（3）解：因为四边形EFBD是直角梯形，

数学（文科）试题A 第 8 页 共 13 页

D F B

C

A

所以几何体ABFED为四棱锥A?EFBD．

因为SEFBD1??1a?a??2aBF?DE?BD??52232?????a，

221212AC?a， 22点A到平面EFBD的距离为h?所以VA?EFBD?1152225SEFBDh??a?a?a3． 3312236故几何体ABFED的体积为

53a． 36 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）

解：（1）因为等差数列?an?的首项为10，公差为2，所以an?10??n?1??2，

即an?2n?8．所以bn?nan?6n?n2?2n． 2（2）由（1）知bn?an?n?2n??2n?8?

2??2 ?n?4n?8??n?23?2??n?2?23?，

????????因为5?2?23?6，所以当n?5时，an?bn，当n?5时，bn?an．

?2n?8,n?5,c?maxa,b?所以n ?nn??2n?2n,n?5.?当n?5时，

Sn?c1?c2?c3???cn?a1?a2?a3???an ?10?12?14????2n?8?

?10??2n??8?n?n2?9n．

2当n?5时，Sn?c1?c2?c3???cn

??a1?a2???a5???b6?b7???bn?

数学（文科）试题A 第 9 页 共 13 页

?5?9?5??2????226??2??6?28???n?2?22?7?2??78?????8??n?22??n??

?2 ?70??6?7?2??8?n???2?6?7???

?70??1?2?3???n???222222?5???1?22?23?4??22?6?n??n?5??2?

??1?n?n?1??2n??5?5??6n??n? ?70??6? ????5 ?13125n?n?n?45． 326n?5,n?5.

?n2?9n,?综上可知，Sn??13125?n?n?n?45,26?320．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为f?x??x?6x?9x?3，

322所以f??x??3x?12x?9?3?x?1??x?3?．

令f'(x)?0，可得x?1或x?3． 则f'(x),f(x)在R上的变化情况为：

x f??x? f?x? ???,1? + 增函数 1 0 1 ?1,3? － 减函数 3 0 ?3,??? +

?3 增函数 所以当x?1时，函数f?x?有极大值为1，当x?3时，函数f?x?有极小值为?3． （2）假设函数f?x?在?3,???上存在“域同区间”?s,t??3?s?t?，

由（1）知函数f?x?在?3,???上单调递增．

32??s?6s?9s?3?s,?f?s??s,?所以?即?3 2t?6t?9t?3?t.ft?t.??????也就是方程x?6x?9x?3?x有两个大于3的相异实根．

数学（文科）试题A 第 10 页 共 13 页

32