第1章 单自由度系统的振动 - 图文(4)

?Fx(t)?sin?nt （1.7-1）

m?n如果冲量F??1，则称为单位脉冲，则由单位脉冲引起的系统响应为

h(t)?引入阻尼

则单位脉冲引起的系统响应为

1m?nsin?nt （1.7-2）

h(t)?e???ntm?n1??2sin?dt （1.7-3）

?d??n1??2式（1.7-3）表示在t=0时单位脉冲引起的系统响应(图1.7-1a)。如果单位脉冲F??1是在t??开始作用(图1.7-1b)，则系统的响应只要用（t??）

去代替式（1.7-3）中的t即可，即

?e???n(t??)sin?d(t??)?h(t??)??m?1??2,当t?? （1.7-4）

n?0,当t???对于非单位脉冲F??F?t，其系统的响应为

图 1.7-1

?(F?t)e???n(t??)sin?d(t??)?(F?t)h(t??)??m?1??2,当t??n?0,当t??? （1.7-5）

1.8任意激励的响应

对于一个任意的非周期性函数F(t)（图1.8-1），可以看成冲量F(?)??的脉冲排列而成。对应于每一个?值都有一个宽

是一系列度

为

??，高度为F(?)的脉冲。设t??时的微脉冲为F(?)d?，

则此微脉

冲引起系统在t??时刻的响应为

dx(t)?F(?)d?h(t??)

系统的所

系统在任意激励F(t)作用下的响应，应是在时刻t之前作用于有脉冲引起的系统响应的总合，即

x(t)?F(?)h(t??)d?

0?t则

图1.8-1

1-16

x(t)?当忽略阻尼时，上式可写成

1m?d?t0F(?)e???n(t??)sin?d(t??)d? （1.8-1）

1x(t)?m?n?F(?)sin?0tn(t??)d? （1.8-2）

式（1.8-1）、（1.8-2）的积分形式称为杜哈美（Duhamal）积分，数学上称为卷积。

1.9任意支撑的响应

先讨论图1.2.5-1表示支承激励的动力模型。设支承作简谐运动，即律，系统运动的微分方程为

y?Asin?t。

由牛顿定

???k(x?y)?c(x??y?)m?x （1.9-1）

??cx??kx?cy??ky或m?x从而

??cx??kx?cA?cos?t?kAsin?t （1.9-2） m?x该振动微分方程的稳态解可以通过线性叠加法求出。这里用复数法求解。设系统稳态

图1.9-1

解为

x?Bs，有 ?it??n)?Be(i(?t??)，将x、y代入式（1.9-2）

x?引入?2k?ci?i?tAe

k?m?2?ci??k?nc,??,??,n?，则有 m?n?n2m1?i??i?ti(?t??)Ae?Be1??2?i2??

1?i??Be?i??1??2?i2??x?式中

A、B为质量块m的振幅。

利用复数运算，得振幅

21?（2??）B?A22（1??2）?（2??）2??3?＝ant()21??2?（2??）21?（2??）B?＝?22A（1??2）?（2??） （1.9-3）

1-17

式中?称为放大因子。

如果支承作任意激励，则式（1.9-1）的右端ky?相当于激励力F(t)，运用式（1.8-1）?cy、（1.8-2），即可得

x(t)?当忽略阻尼时，上式可写成

1m?d?t0?(?)]e???n(t??)sin?d(t??)d?[ky(?)?cy（1.9-4）

x(t)?如果支座得运动是用加速度可导出

1m?n?ky(?)sin?0tn(t??)d? （1.9-5）

??(t)来描述的，而所需的是系统中的质量m对于支座的相对运动，如果令z?x?y，则由式（1.9-1）y? （1.9-6） ??cz??kz??m?m?zy将F(t)?代入式（1.8-1）??m?y、（1.8-2），

z(t)??1?d??y?(?)e0t???n(t??)sin?d(t??)d? （1.9-7）

或z(t)??1?n??y?(?)sin?0tn(t??)d? 1-18