第1章 单自由度系统的振动 - 图文

第1章 单自由度系统的振动

1.1概述

机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。

实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如就是个最简单的单自由度质量(m)—弹簧(k)系统。

如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。

扰下所作部件和基动，汽轮条件下，振

进行计算，图示1.1-1

图1.1-1

振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。

机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。

由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。 本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB语言来实现。

1.2单自由度系统的振动

1.2.1 无阻尼自由振动

如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述

：

??kx?0 (1.2.1-1) m?x令

?n2?k ，方程的通解为 m

x?asin?nt?bcos?nt (1.2.1-2)

式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。 式(1.2.1-2)中，a、b为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t=0时，质量块的位移 x=x0，其速度

??x?0?V0,则 xa?即

V0?n,b?x0

1-1

x?V0?nsin?nt?x0cos?nt （1.2.1-3）

或写成

x?Asin(?nt??) （1.2.1-4）

A?(V0)2?x02?n，??atanx0?nV0

其中A为振幅，

?n为振动圆频率，? 为相位角，fn??n/(2?)（赫兹）称为固有频率。固有频率与外界给予的初始条件无关，

它是系统本身所具有的一种重要特性。

1.2.2 有阻尼自由振动

图1.1-1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等。

图1.2-1所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为

??cx??kx?0 (1.2.2-1) m?x令

ck2?2n,??n，则 mm???2nx???n2x?0 （1.2.2-2） x其通解为

n2??n2?n2??n2

x?e?nt(c1e?c2e) （1.

2.2-3）

图图1.2-1 式中c1、c2为积分常数，由振动初始条件确定。

令

n?n??，

?称为相对阻尼系数或阻尼率。则式 （1.2.2-3）可写为

???nt2?nt??1

由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。

一、当???时，称为弱阻尼状态 此时，

x?e(c1e?c2e??nt?2?1) （1.2.2-4）

?2?1为虚数，式 (1.2.2-4) 变为

x?e???nt(c1ei?nt1??2?c2e?i?nt1??2) （1.2.2-5）

利用欧拉公式，式(1.2.2-5)可写为

1-2

403020100-10-20-30-4050*exp(-0.1*wn*t)-50*exp(-0.1*wn*t)12345678910图1.2.2-2

x?Ae???nt[bcos1??2?nt?asin1??2?nt] （1.2.2-6）

括号内为两个简谐振动相加,即式 (1.2.2-5) 可写为

x?Ae???ntsin(1??2?nt??) （1.2.2-7）

A?(V0???2x0)2?x0?n1??2?n2(1??2)x0?n1??2,??arctan()V0???nx0

由式(1.2.2-7)可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性: 1.

它是一个简谐振动，振动的频率为

1??2?n，这是?n为无阻尼时系统的固有频率。一般情况下，?常在0.1左右，

因此对固有频率的影响不大，即认为

1??2?n??n 。

、

2. 振动的振幅为

Ae???nt，其中A、??n皆为定值。所以振幅随时间变化的规律是一条指数递减曲线(图1.2.2-2)。

二、当???时，称为强阻尼状态 此时，式(1.2.2-4)可写成

x?c1e(???c1??2?1)?nt?c2e(???2?2?1)?ntV0?(???2?1)?nx02?n??1?V0?(????2?1)?nx02?n?2?1 （1.2.2-8）

c2?由于

?2?1?0，故式(1.2.2-8 )中二项指数皆为实数。又因为???2?1，故二项之指数皆为负值，所以，式（1.2.2-8）

所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。

三、当???时，称为临界阻尼状态

1-3

由于

??n?n?1，n??n，则有

cc?2m?n?2mk?2km (1.2.2-9) m这里 cc 为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。

由

??n?c及cc?2m?n，有??c。也就是说，相对阻尼系数

?（阻尼率）反映了系统的实际阻尼与临

?n2m?ncc界阻尼的关系。

在临界阻尼状态下，有

x?e??nt(c1?c2t) 其中c1?x0,c2?V0??nx0。显然，在这种状态下不能形成振动(图1.2.2-4)。

1.2.3 有阻尼自由振动响应计算与 MATLAB实现

根据式(1.2.2-7)、(1.2.2-8)、(1.2.2-10) 编写的程序如下： function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)

%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应 %VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图

%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间 %VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图 %zeta为阻尼系数;ωn为固有频率

%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位 clc

%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf) if nargin==5

z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2; end

wn=sqrt(k/m);%固有频率 z=c/2/m/wn;

wd=wn*sqrt(1-z^2);

fprintf('固有频率为%.3g.rad/s.\\n',wn); fprintf('阻尼系数%.3g.\\n',z);

fprintf('有阻尼的固有频率%.3g.\\n',wd); t=0:tf/1000:tf; if z<1

A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2); phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);

(1.2.2-10)

1-4

x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi); fprintf('A=%.3g\\n',A); fprintf('phi=%.3g\\n',phi); elseif z==1 a1=x0; a2=v0+wn*x0;

fprintf('a1=%.3g\\n',a1); fprintf('a2=%.3g\\n',a2); x=(a1+a2*t).*exp(-wn* …… 此处隐藏：1886字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……