第1章 单自由度系统的振动 - 图文(3)

N?(kB)2?(c?B)2?kB1?(2??)2由式(1.2.4-3),谐迫振动的振幅为

(1.4-1)

B?将上式代入式(1.4-1)，得

B0(1??)?(2??)222?F0k(1??)?(2??)222

N?F01?(2??)2(1??2)2?(2??)2

主动隔振得隔振效果常用隔振系数?a来表示。?a为设备隔振后传给地基的最大动载荷N(幅值)与未隔振时设备传给地基的最大动载荷F0（幅值）之比值。

1?(2??)2N?a??F0(1??2)2?(2??)22．被动隔振

(1.4-2)

为了减小周围振源对仪器设备的影响，需隔离来自地基的振动，这种隔振称为被动隔振，如图1.4.1（b）所示。地基传给系统的激励是

y?Asin?t，经隔振后仪器设备的响应为x?Bsin(?t??)，其振幅为

1?(2??)2B?A(1??2)2?(2??)2被动隔振得隔振效果常用隔振系数?p来表示。

1?(2??)2B?p??A(1??2)2?(2??)2当振源为简谐振动时，主动隔振与被动隔振的隔振系数的数学表达式是完全相同的。 采用不同的?、?值，可绘制一系列隔振曲线。 当? (1.4-3)

??1时，??1，无隔振效果；当1???2时，??1，不但不能隔振，反而会有扩振的效果；当??1时，系统共

振。所以，1???2称为扩振区。设备在启动和制动过程中必定要经过这一区域，因而，在隔振器内，应具有适当的阻尼，以减少

经过共振区域的振幅。

当??2时，??1，这才有隔振效果，故称为隔振区，且随着?的增大隔振效果增强。在工程中一般取??2.5~5即可

满足要求。在此区域，增大阻尼会降低隔振效果。

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1.5等效粘性阻尼

在振动微分方程中，一般将阻尼假定为粘性阻尼，从而使方程容易求解。而实际系统常为非粘性阻尼，因而需要用等效粘性阻尼来进行近似计算。

当系统作简谐振动时，粘性阻尼力也是简谐力，即

??cB?cos(?t??) Fc?cx在一个周期中，粘性阻尼所消耗的能量等于它在一个周期中所做的功

T2?Wc??0?dt?Fcx??0cB2?2cos(?t??)dt （1.5-1）

Wc??cB2?2对于非粘性阻尼系统，根据一个周期中非粘性阻尼和等效阻尼所消耗的能量相等的原理，假设We为非粘性阻尼在一个周期内所做的功，ce为其等效阻尼，则

We?Wc??ceB2?ce?常见的非粘性阻尼的等效阻尼： 1．干摩擦阻尼

干摩擦阻尼力Fc为常数力，在系统振动过程中大小不变，其方向始终与运动方向相反，在1/4振动周期内，阻尼力所作的功为

We （1.5-2）

?B2?We?4FcB，故干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数为

ce?2．流体粘性阻尼

4Fc?B? （1.5-3）

当物体以较大速度在粘度较小的流体内运动时，其阻尼力和速度平方成正比（Fc周期内所作的功为

T40T40T??2??2）,而方向与速度相反。流体阻尼在一个?axWe?4

??dt?4Fex???dt?4aax3???8B3?3cos3(?t??)dt?aB3?23（1.5-4）

ce?3．结构阻尼

We??B28aB?3? 1-12

结构材料在振动过程中，存在加载和卸载的循环。每个振动周期内形成一个应力曲线，如图（1.5-1）所示。试验表明，一个周期内结构阻尼消耗的能量与振幅平方成正比，而与振动频率无关，即

We?bB2

式中b为常数。

结构阻尼的等效粘性阻尼系数为

ce?b?? （1.5-5）

如果一个系统存在几个性质不同的阻尼时，也可以把它折算成等效阻尼

ce?其中

??B2?W (1.5-6)

图1.5-1

?W为系统各阻尼在一个周期中消耗的能量。

关于结构阻尼，还请参考“李润方,王建军,齿轮系统动力学——振动、冲击，噪声，科学技术出版社，1997.3”。

1.6非谐周期激励的响应

对于工程中常见的线性系统来说，任何周期函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函数之和。假设系统受一周期激励F(t)作用，其周期为T,可表示为

F(t)?a0?a1cos?0t?a2cos2?0t???b1sin?0t?b2sin2?0t??2F(t)?A0??An?1?（1.6-1）

nsin(n?0t??n)式中

A0?aa22,An?an?bn,tg?n?n2bn。图（1.6-1）为给定

周期函数F(t)的频谱。

【例1.6-1】设周期激励F(t)为图（1.6-2）所示,求此函数的傅立叶频谱。

【解】F(t)的数学表达式为

级数和

图1.6-1

T?A，当0?t?时?2F(t)??

T??A，当?t?T时2?图1.6-2

式中T为激励F(t)的周期，基频?0?2?/T。

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图1.6-3

不难求出傅立叶系数为

a0?2TF(t)dt?0T0?2an?T2bn?T因此

??T0T2F(t)cosn?0tdt?[T?T20Acosn?0tdt??TT2Acosn?0tdt]?0

0?4AA?,当n?1,3,5,?F(t)sinn?0tdt?[1?2cosn??cos2n?]??n?n???0,当n?2,4,6,?F(t)?1.27Asin?0t?0.42sin3?0t?0.25sin5?0t??如图1.6-3。

在工程中一般取前5各谐波合成就能满足精度要求。图1.6-3（b）为对应的频谱图。从图中可以看出，当n=9时，谐波的幅值为0.14A，占比重很小。因此，可以忽略高阶谐波。

下面有阻尼的弹簧质量系统在周期激励F(t)作用下的响应。其运动方程为

a??cx??kx?0?m?x2方程右端的常数项

?(an?1?ncosn?0t?bnsinn?0t) （1.6-2）

a02相当于激励力的静力部分，若将响应曲线的坐标选在静平衡位置，此常数力不会出现在微分方程中。所以只讨论

各阶简谐交变力引起的响应。

同样，这里只讨论周期激励下的稳态响应。

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对于线性系统，可应用叠加原理将式（1.6-2）右端各谐波激励分别单独作用于系统，逐个求得其响应，然后将各响应叠加，即为系统在周期激励作用下得稳态响应。

在于第n阶谐波激励力（ancosn?0t?bnsinn?0t）作用下，根据式（1.2.4-3），其响应可表示为

xn(t)?n?0ankcos(n?0t??n)(1??)?(2??n)222?bnksin(n?0t??n)(1??)?(2??n)2??n1??2n222（1.6-3）

式中?n——第n阶频率比，?n??n；?n——系统固有频率，?n?k/m；?n?ant()；k——系统刚度。

系统得总响应为

x(t)?当阻尼比?较小可以忽略时，上式可写成

?n?1?ancos(n?0t??n)?bnsin(n?0t??n)k(1??)?(2??n)222 （1.6-4）

x(t)??n?1?ancosn?0t?bnsinn?0tk(1??)2 （1.6-5）

式（1.6-5）表明，周期激励力作用下系统无阻尼稳态响应不仅与各阶谐波激振力幅an、n有关，且与频率比?n密切相关，要防止强烈振动应避免出现?nb?(n?1,2,3,?)的情况。

当系统是在周期性支承运动(参见1.2.5 支承激励引起的振动)

xs(t)?作用下振动时，则在忽略阻尼时系统的响应为

?(an?1?ncosn?0t?bnsinn?0t)

x(t)??n?1?ancosn?0t?bnsinn?0t1??2 （1.6-6）

1.7单位脉冲的响应

如前所述，一个无阻尼弹簧质量系统，在初始位移x0和初始速度V0下的自由振动响应为

x?设系统原来静止于平衡位置。从tV0?nsin?nt?x0cos?nt

??0开始，突然作用有冲量F?F?t，其中?t是极其短暂的阿冲击时间。由冲量定理，质量m的

初速度V0??F/m，初始位移x0?0，代入上式，则系统体的运动规律为

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