第1章 单自由度系统的振动 - 图文(2)

fprint('a2=%.3g\\n',a2);

x=exp(-wn*t).*(a1*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t) +a2*exp(wn*sqrt(z^2- 1)*t)); end

plot(t,x),grid xlabel('时间(s)') ylabel('位移')

title('位移相对时间的关系')

运行该程序时，只需要给出相应参数，例如 >>VTB1(1,0.05,1,1,1,100)

则显示固有频率为?n＝1（rad/s）,阻尼系数?＝0.03，幅值为A=1.43相位角为phi=0.773。其响应曲线如图 (1.2.3-1) 所示。 程序中if语句就是判断ξ大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。

如果运行>>VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，则显示固有频率为?n＝1（rad/s），阻尼系数?＝1。其响应曲线如图 (1.2.3-2) 所示。如果要想求出振动的速度

?(=xd)和加速度??(=xdd)，只要式(1.3-11)、式(12-12)、式(1.2-10)分别进行求导，在程序中加入相应的内容，最后增加xxplot(t,xd)，plot(t,xdd)即可给出速度和加速度图。

图1.2.3-2

1.2.4 有阻尼受迫振

单自由度有阻尼强迫振动的微分方程为

??cx??kx?f(t) (1.2.4-1) m?x式中f(t)为外加的激励力。如果f(t)=F0sinωt,则称为谐激励力，式(1.2.4-1)可写成

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??cx??kx?F0sin?t (1.2.4-2) m?x式(1.2.4-2) 是一个线性非齐次方程。其振动响应为

???2????tg?1?1??2???? (1.2.4-3) ????n?2?nF0/kF0?B???2222222k(1??)?(2??)(?n??)?(2??n?)??x?Ae???ntsin(1??2?nt??)?Bsin(?nt??)式中A与?仍按式(1.2.2-7)计算，

谐迫振动的主要特性有：

1. 式(1.2.4-3)包括瞬态与稳态响应两部分，其中瞬态响应是一个有阻尼的谐振。振动频率为系统固有频率

?为频率比，B为稳态响应的振幅。

?n，振幅A与初相位

角?决定于初始条件，振幅的衰减按e???nt规律，因此，振动持续时间决定于系统的阻尼比

?。

2. 谐振的稳态响应也是一个简谐振动，其频率比等于激励力的频率

?，振幅为B，相位角为?。

f(t)?F0sin?t作用时，产生等幅振动，这个振动

3. F0/k是系统的静载荷F0作用下产生的变形，称“静变位”。而系统在实质上是一种”动态变位”。H(?)?B/(F0/k)即为“动态变位”与静态变形之比，称为动力放大因子。H(?)随阻尼比?和

频率比

?而变化。当???1时，H(?)?1即B?F0/k，说明激励频率 ?远小于系统固有频率?n时，系统可视为静态，

振幅也等于静变位。当

???1时，H(?)?0即B?0这是因为激励力频率非常高，系统由于惯性而来不及随之振动。当

??1时，B急剧增大，即发生共振。

下面是单自由度谐迫振动计算程序。 function vtb2(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0) %单自由度系统的谐迫振动 wn=sqrt(k/m); z=c/2/m/wn; %阻尼比 lan=w/wn; %频率比 wd=wn*sqrt(1-z^2);

A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2); t=0:tf/1000:tf;

phi=atan2(2*z*lam,1-lam^2) %相位角

B=wn^2*f0/k/sqrt((wn^2-w^2)^2+(2*z*wn*w)^2);

x=A*exp(-z*wn*t).*sin(sqrt(1-z^2)*wn*t+phi)+B*sin(w*t+phi); plot(t,x),grid

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xlabel('时间(s)') ylabel('位移')

title('位移与时间的关系')

【例1.2.4-1】图(1.2.4-1)是谐迫振动系统。已知k=43.8(N/cm)，m=18.2(kg)，c=1.49(N.s/cm)，F0=44.5(N),

?=15(rad/s)。求系统的

图响应。

运行vtb2(18.2,1.49,43.8,1,1,100,15,44.5)，可得出振动响应(图

图1.2.4-1 1.2.4-2)。

图1.2.4-2

读者可自己调整c、

?的大小，从而调整?,?的大小，分析系统的响应形态。

1.3 等效质量与等效刚度

本节内容在《机械原理》中已学到。

在第6章“考虑构件弹性的机械系统的动力学”中还要介绍传动系统的等效质量和等效刚度。

在实际振动系统中往往有多个质量块、分布质量和多个以不同形式联结的弹性元件，尽管这些系统可以用有限元方法进行动力学分析，但为了简化，需要进行等效处理。 1．等效质量和等效转动惯量

根据能量法原理,分布质量可简化为一个等效质量。它是一个假想的集中质量，在振动过程中产生的动能等于分布质量所产生的总能量。

对于离散分布的各集中质量，其等效质量为

ume?mi(i)2?uei?1?m?Ij?1mj(?jue)2 （1.3-1）

其中ui——质量mi的运动速度；ue——等效质量的运动速度；?j——转动惯量Ij的转动角速度。

等效转动惯量为

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Je?其中?e——等效转动惯量的转动角速度。

?i?1mmi(ui?e)?2?j?1mIj(?j?e)2 （1.3-2）

图1.3-1所示的系统，现将质量简化到A点，利用式（1.3—1），且ue可得

?u1，

me?m1(v12v?b1)?m2(2)2?J()2?m1?m2()2?J()2v1v1v1aa2．等效刚度

等效刚度时在保证系统总势能不变的条件下，将各部分的刚度向一定位置转换，转换得到的假想刚度为等效刚度。

机械系统中常用几个弹性元件串连或并联。建立动力学模型时，常需将组合弹

簧系统换算成一个等效弹簧。这个弹簧得刚度为等效刚度。组合弹性元件的等效刚度见表1.3-1。

表1.3-1组合弹性元件的等效刚度

序号 弹簧元件组合形式 组合等效刚度 图1.3-1

1 111??kk1k2或k?k1k2k1?k2 2 k?k1?k2 3 (a?b)2k?2ab2?k2k1 4 k? k1(k2?k3)k1?k2?k3

【例1.3-1】一振动系统如图1.3-2所示。假定水平杆OB是刚性杆，试求系统转化到B点的等效刚度。

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【解】将刚度k1的弹簧转换到B点。

?的势能，即 根据势能相等原理，A点弹簧k1的势能应等于B点等效弹簧k1l1122?yB??k1(1)2 k1yA?k1,k122ll2图1.3-2

?成串联组合，则等效刚度为 弹簧k1和弹簧k1lk1(1)2k22?k2k1l2k1k2l1k???22l12??k2k1kl?kl1122k1()?k2l2

1. 4隔振原理

机械设备运转时所产生的振动，不仅影响本身工作精度、结构强度和使用寿命，而且会对周围的仪器设备和建筑物带来危害。由振动引起的噪声还会影响人体的健康。因此，有效地隔离振动是十分必要的。

工程上通常采用两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。两种隔振的设计方法是相同的，都是把隔振的机器或仪器安装在由弹簧与阻尼器组成的隔振器上，使大部分振动能量为隔振器所吸收。 1．主动隔振

机器本身是振源。为了减少它对周围其它设备的影响，用隔振器将它与地基隔开，这种隔振称为主动隔振。例如行走机械中，原动机底座加橡胶隔振垫等。

图1.4.1（a）是单自由度主动隔振的动力学模型。机器本身产生的振动激励力为F0sin?t。如果没有隔振装置，设备和支承之间为刚性接触，则传

sin?t。采用隔振措施后，系统作用在支承上的

Ncmax的

（a）主动隔振 (b)被动隔振

图1.4.1

递到支承上的动载即为F0力将为通过弹簧（k）和阻尼器（c）传递的最大载荷Nkmax和矢量和，即

???N?Nkmax?Ncmax

因

Nk?kx?kBsin(?t??)

?Nc?cx?c?Bcos(?t??)（上述振动为简谐振动，其振动位移与速度之间的相位差90），则最大合力为

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