求数列通项公式的11种方法(5)

2554例26、数列{an}满足a1??，且an?1?29求数列{an}的通项。 122an?42an?2529252an?2?an???4???44??① 解：an?1???an?1?29292an?2an?4429??25252令??，解得?1?1,?2?，将它们代回①得，

442an?25??a?2?nan?1??25?4???an?1?1???②，an?1???③，

292942an?2an?442an?1?③÷②，得

25?25?a?n4??4???an?1?1a?1?n???2,

2525an?1?an?44?2lg则lgan?1?1an?125???an?4??成等比数列，首项为1，公比q=2 ，∴数列?lgan?1????2525252n?1?10an?an?n?144?1024?2n?1?a?lgn所以，则，2n?1an?1an?110?1

十二、四种基本数列

1．形如an?1?an?f(n)型 等差数列的广义形式，见累加法。

an?1?f(n)型 等比数列的广义形式，见累乘法。 2.形如an3.形如an?1（1）若an?1?an?f(n)型

?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为

2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

21

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an?1出通项;或用逐差法(两式相减)得an?1

例27. 数列{an}满足a1?0,an?1分析 1：构造 转化为an?1解法1：令bn则

?an?f(n)型，通过累加来求

?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.

?an?2n,求数列{a}的通项公式.

n

?an?f(n)型

?(?1)nan

bn?1?bn?(?1)n?1an?1?(?1)nan?(?1)n?1(an?1?an)?(?1)n?1?2n.

?bn?bn?1?(?1)n?2(n?1)?n?1b?b?(?1)?2(n?2)?n?1n?2?????b?b?(?1)2?2?11?2?b1??a1?0?n?2时,各式相

nn?132b?2(?1)(n?1)?(?1)(n?2)???(?1)?2?(?1)?1 加:n??当n为偶数时，bnn?2???2?(n?1)?(?1)??n. 此时an?bn?n 当n为奇数时，?2??bn?2(?此时bn

n?1)??n?1 2??an,所以an?n?1.故

?n?1,n为奇数,an??

n,n为偶数.?

解法2：?an?1?an?2n?n?2时，an?an?1?2(n?1)，两式相减得：an?1?an?1?2. ?a1,a3,a5,?,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列;

a2,a4,a6,?,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列

?a2k?1?a1?(k?1)d?2k?2 a2k?a2?(k?1)d?2k.

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?n?1,n为奇数, ?an?? 评注：结果要还原成n的表达式.

n,n为偶数.?

例28.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3(?)n?1(n?3),且S1?1,S2??解：方法一：因为Sn?Sn?2

以下同上例，略

123,求数列{an}的通项公式. 21?an?an?1所以an?an?1?3?(?)n?1(n?3),

2

1n?1?4?3?(),n为奇数,??2答案 an??

??4?3?(1)n?1,n为偶数.?2?4.形如an?1?an?f(n)型

?an?p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，

（1）若an?1其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an?an?1?f(n?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例29. 已知数列{an}满足注：同上例类似，略.

a1?3,an?an?11n?(),(n?N*),求此数列的通项公式.

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