求数列通项公式的11种方法(4)

等比数列，求数列{an}的通项公式。 解：∵对任意n?N有Sn?∴当n=1时，S1?a1??1(an?1)(an?2) ⑴ 61(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2 6当n≥2时，Sn?1?1(an?1?1)(an?1?2) ⑵ 6⑴-⑵整理得：(an?an?1)(an?an?1?3)?0

?an?1?3

2∵{an}各项均为正数，∴an当a1?1时，an?3n?2，此时a4?a2a9成立

当a1?2时，an?3n?1，此时a4?a2a9不成立，故a1?2舍去 所以an?3n?2

练习。已知数列{an}中, an?0且Sn?21(an?1)2,求数列{an}的通项公式. 222答案：Sn?Sn?1?an (an?1)?(an?1?1) an?2n?1 2、对无穷递推数列

，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，例20 已知数列{an}满足a1?1求{an}的通项公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan.

②

①

则an?1?(n?1)an(n?2) 故

an?1?n?1(n?2) an所以an?

anan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a2216

③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0?D，使f(x0)?x0成立，则称x0为

f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f(x)的不动点。

分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。 类型一：形如an?1?qan?d

例21 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x)?2x?1，由f(x)?x得，不动点为-1 ∴an?1?1?2(an?1)，?? 类型二：形如an?1?a?an?b

c?an?d分析：递归函数为f(x)?a?x?b

c?x?d（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得

(a1q?pq)kn?1?(a1p?pq)a?pcan?1?pan?p?k?，其中k?，∴an?

(a1?p)kn?1?(a1?q)a?qcan?1?qan?q（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得

112c??k，其中k?。

an?1?pan?pa?d例22. 设数列{an}满足a1?2,an?1?5an?4,求数列{an}的通项公式.

2an?7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：

,an?17t?45a?4(2t?5)an?7t2t?5?t?n?t??(2t?5)2an?72an?72an?7an?17

an?t7t?4令t?, 解之得t=1,-2 代入an?1?t?(2t?5)得

2an?72t?5an?1an?1an?2?1?3a?2?9,n?1,

2an?72an?7nan?1?11an?1??相除得,即{

anan?1?23an?2a?1a?11?， }是首项为1?2a1?24an?111?n4?3n?1?21?3, 解得an?公比为的等比数列, =.

an?2434?3n?1?1方法2：?,

an?1?1?3an?1，

2an?71两边取倒数得

an?12an?72(an?1)?923????， ?13(an?1)3(an?1)3an?12?3bn,?,转化为累加法来求. 321an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1令bn?1，则bn?an?1例23 已知数列{an}满足an?1?解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不

4x?14x?1动点。因为

21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2????。所以数列21a?24an?1?321a?24?3(4a?1)9a?279a?3nnnnn?34an?1?an?2?an?2a1?24?213n?113??2?2()，则是以为首项，以为公比的等比数列，故??9a1?34?3an?39?an?3?an?1132()n?1?19?3。

练习1：已知{an}满足a1?2,an?an?1?2(n?2)，求{an}的通项an

2an?1?118

3n?(?1)n答案：?an?n3?(?1)n

练习2。已知数列{an}满足a1?2,an?1?2an?1(n?N*)，求数列{an}的通项an

4an?613?5n答案：?an?

10n?6练习3.（2009陕西卷文）

已知数列?an}满足，

a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?1,n?N*.

2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求

?an}的通项公式。

521n?1*1a??(?)(n?N)。b答案：（1）?n?是以1为首项，?为公比的等比数列。（2）n

3322

十一：特征方程法 形如an?2 形如1?pan?1?qan(p,q是常数）的数列 （已知 a1;a2)

a?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特

2x?px?q?① 征根法求得通项an，其特征方程为

nna?c??c?(c1,c2是待定常数） 若①有二异根?,?，则可令n12若①有二重根???，则可令an?(c1?nc2)?n(c1,c2是待定常数）

再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an

*a?2,a?3,a?3a?2a(n?N)，例24 已知数列{an}满足1求数列{an}的通2n?2n?1n项an

2解：其特征方程为x?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n，

n?1

?c1?1a?c?2c?2?11?21由?，得?a?c?4c?3?212?c2??

，

?an?1?2219

例25 已知数列{an}满足a12?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an

n1?1?解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???，

2?2?1?a?(c?c)??112?c1??4??12由?，得?， ?anc2?6??a?(c?2c)?1?2212??4

3n?2?n?1

2*a?1,a?2,4a?4a?a?1(n?N)，求数列{an}练习1．已知数列{an}满足12n?2n?1n的通项

练习2．已知数列{an}满足

a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an?n?4(n?N*)，求数列{an}的通项

说明：(1)若方程x?px?q有两不同的解s , t, 则an?12?tan?s(an?tan?1), an?1?san?t(an?san?1),

?tan?(a2?ta1)sn?1, an?1?san?(a2?sa1)tn?1,

由等比数列性质可得an?1?t?s,由上两式消去an?1可得an?2?a2?ta1?na2?sa1n.s?.t.

s?s?t?t?s?t?(2)若方程x?px?q有两相等的解s?t，则

an?1?tan?s?an?tan?1??s2(an?1?tan?2)???sn?1?a2?ta1?，

an?1ana2?ta1?an??n?1?n?,即?n?是等差数列， 2sss?s?ana1a2?sa1??n?1?.由等差数列性质可知n?sss2，

??a1a2?sa1?a2?sa1?na?.n?s． ??所以n??s?22ss????

20